Напишите уравнение окружности с центром в точке (х0: у0) и радиусом R: 1) (0:0), R = 4; 2) (-1;0), R=2;...

Уравнение окружности с центром в точке ((x_0, y_0)) и радиусом (R) можно записать в следующем виде:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 ]

Где ((x, y)) — это произвольная точка на окружности.

Теперь давайте составим уравнения окружностей для каждого из заданных случаев:

1. Центр (0, 0), радиус R = 4:

   • Центр окружности: ((x_0, y_0) = (0, 0))
   • Радиус: (R = 4)

   Подставим значения в уравнение:

   [ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4^2 ]

   Упрощаем:

   [ x^2 + y^2 = 16 ]

2. Центр (-1, 0), радиус R = 2:

   • Центр окружности: ((x_0, y_0) = (-1, 0))
   • Радиус: (R = 2)

   Подставим значения в уравнение:

   [ (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 2^2 ]

   Упрощаем:

   [ (x + 1)^2 + y^2 = 4 ]

3. Центр (2, 3), радиус R = 3:

   • Центр окружности: ((x_0, y_0) = (2, 3))
   • Радиус: (R = 3)

   Подставим значения в уравнение:

   [ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2 ]

   Упрощаем:

   [ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 ]

Таким образом, уравнения окружностей для всех трех случаев выглядят следующим образом:

1. (x^2 + y^2 = 16)
2. ((x + 1)^2 + y^2 = 4)
3. ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9)

Эти уравнения описывают окружности, заданные в условиях задачи.

Уравнение окружности в общей форме записывается следующим образом:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ]

где ((x_0; y_0)) — координаты центра окружности, (R) — радиус.

Теперь решим каждую из задач отдельно:

1. Центр окружности ((0; 0)), радиус (R = 4)

Подставим значения (x_0 = 0), (y_0 = 0) и (R = 4) в общее уравнение окружности:

[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 4^2. ]

Упростим:

[ x^2 + y^2 = 16. ]

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат ((0; 0)) и радиусом (4).

2. Центр окружности ((-1; 0)), радиус (R = 2)

Подставим значения (x_0 = -1), (y_0 = 0) и (R = 2) в общее уравнение окружности:

[ (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 2^2. ]

Упростим:

[ (x + 1)^2 + y^2 = 4. ]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке ((-1; 0)) и радиусом (2).

3. Центр окружности ((2; 3)), радиус (R = 3)

Подставим значения (x_0 = 2), (y_0 = 3) и (R = 3) в общее уравнение окружности:

[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2. ]

Упростим:

[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9. ]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке ((2; 3)) и радиусом (3).

Ответы:

1. Уравнение окружности: [ x^2 + y^2 = 16. ]
2. Уравнение окружности: [ (x + 1)^2 + y^2 = 4. ]
3. Уравнение окружности: [ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9. ]