Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы y=x^2+4 и прямой x+y=6

Для нахождения точек пересечения параболы и прямой необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы y=x^2+4 и уравнения прямой x+y=6.

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы ( y = x^2 + 4 ) и прямой ( x + y = 6 ), нужно решить систему этих уравнений.

1. Выразим ( y ) через ( x ) из уравнения прямой: [ y = 6 - x ]

2. Подставим это выражение для ( y ) в уравнение параболы: [ 6 - x = x^2 + 4 ]

3. Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^2 + x + 4 - 6 = 0 ] [ x^2 + x - 2 = 0 ]

4. Решим квадратное уравнение ( x^2 + x - 2 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

5. Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ]

   Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 ]

6. Найдем соответствующие значения ( y ) для каждого из корней:

   • Для ( x = 1 ): [ y = 6 - 1 = 5 ]

   • Для ( x = -2 ): [ y = 6 - (-2) = 8 ]

7. Таким образом, координаты точек пересечения параболы и прямой: [ (1, 5) \quad \text{и} \quad (-2, 8) ]

Окончательный ответ: точки пересечения параболы ( y = x^2 + 4 ) и прямой ( x + y = 6 ) имеют координаты ( (1, 5) ) и ( (-2, 8) ).

Для нахождения координат точек пересечения параболы и прямой, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы y=x^2+4 и уравнения прямой x+y=6.

Подставим выражение y=x^2+4 из уравнения параболы в уравнение прямой: x + x^2 + 4 = 6 x^2 + x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: D = 1^2 - 41(-2) = 1 + 8 = 9 x1,2 = (-1 ± √9) / 2 x1 = (1 + 3) / 2 = 2 x2 = (1 - 3) / 2 = -1

Подставим найденные значения x обратно в уравнение параболы, чтобы найти соответствующие значения y: При x = 2: y = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8 При x = -1: y = (-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5

Таким образом, координаты точек пересечения параболы y=x^2+4 и прямой x+y=6 равны (2, 8) и (-1, 5).