Нужна помощь: cosx=cos5x

Для решения уравнения cos(x) = cos(5x) можно воспользоваться формулой косинуса разности: cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Преобразуем уравнение: cos(x) = cos(5x) cos(x) = cos(4x + x) cos(x) = cos(4x)cos(x) + sin(4x)sin(x)

Теперь заменим cos(4x) и sin(4x) через cos(x) и sin(x) с помощью формул двойного угла: cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Подставим полученные значения в уравнение: cos(x) = (2cos^2(2x) - 1)cos(x) + 2sin(2x)cos(2x)sin(x)

Разложим все по формулам двойного угла и упростим: cos(x) = (2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1)cos(x) + 2(2sin(x)cos(x))(cos^2(x) - sin^2(x))sin(x)

После всех преобразований получим уравнение, которое можно решить численно или графически.

Рассмотрим уравнение ( \cos x = \cos 5x ). Для того чтобы его решить, нужно воспользоваться основными свойствами косинуса и тригонометрическими тождествами.

Во-первых, вспомним, что косинус — это периодическая функция с периодом ( 2\pi ). Это значит, что ( \cos \theta = \cos (\theta + 2k\pi) ) для любого целого числа ( k ).

Также известно, что если ( \cos A = \cos B ), то возможны два случая:

1. ( A = B + 2k\pi )
2. ( A = -B + 2k\pi )

Применим эти случаи к нашему уравнению ( \cos x = \cos 5x ).

Первый случай: ( x = 5x + 2k\pi )

Исходное уравнение: [ x = 5x + 2k\pi ]

Решим его относительно ( x ): [ x - 5x = 2k\pi ] [ -4x = 2k\pi ] [ x = -\frac{k\pi}{2} ]

Второй случай: ( x = -5x + 2k\pi )

Исходное уравнение: [ x = -5x + 2k\pi ]

Решим его относительно ( x ): [ x + 5x = 2k\pi ] [ 6x = 2k\pi ] [ x = \frac{k\pi}{3} ]

Обобщение решения

Итак, у нас есть два набора решений:

1. ( x = -\frac{k\pi}{2} )
2. ( x = \frac{k\pi}{3} )

где ( k ) — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения ( \cos x = \cos 5x ) можно записать в виде объединения двух множеств:

[ x = -\frac{k\pi}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{k\pi}{3}, \quad \text{где}\ k \in \mathbb{Z} ]

Это и есть все значения ( x ), при которых выполняется равенство ( \cos x = \cos 5x ).