Обчислити найлегшим способом 74,7×(2/21)+(-105,3)×(2(3/7))-(-105,3)×(2/21)-(2(3/7))×74,7

Для упрощения выражения:

[ 74,7 \times \left(\frac{2}{21}\right) + (-105,3) \times \left(2 \frac{3}{7}\right) - (-105,3) \times \left(\frac{2}{21}\right) - \left(2 \frac{3}{7}\right) \times 74,7 ]

Первым делом, давайте преобразуем смешанное число ( 2 \frac{3}{7} ) в неправильную дробь:

[ 2 \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7} ]

Теперь подставим это значение в выражение:

[ 74,7 \times \left(\frac{2}{21}\right) + (-105,3) \times \left(\frac{17}{7}\right) - (-105,3) \times \left(\frac{2}{21}\right) - \left(\frac{17}{7}\right) \times 74,7 ]

Далее, заметим, что некоторые слагаемые можно сгруппировать. Рассмотрим два первых слагаемых и два последних:

[ (74,7 \times \left(\frac{2}{21}\right) - \left(\frac{17}{7}\right) \times 74,7) + ((-105,3) \times \left(\frac{17}{7}\right) + (-105,3) \times \left(\frac{2}{21}\right)) ]

Теперь вынесем (74,7) и (-105,3) за скобки:

[ 74,7 \left(\frac{2}{21} - \frac{17}{7}\right) + (-105,3) \left(\frac{17}{7} + \frac{2}{21}\right) ]

Теперь упростим выражения в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

1. Для ( \frac{2}{21} - \frac{17}{7} ):

   • Общий знаменатель - 21. Преобразуем ( \frac{17}{7} ): [ \frac{17}{7} = \frac{17 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{51}{21} ]
   • Теперь вычтем: [ \frac{2}{21} - \frac{51}{21} = \frac{2 - 51}{21} = \frac{-49}{21} = -\frac{7}{3} ]

2. Для ( \frac{17}{7} + \frac{2}{21} ):

   • Общий знаменатель также 21. Преобразуем ( \frac{17}{7} ): [ \frac{17}{7} = \frac{51}{21} ]
   • Теперь сложим: [ \frac{51}{21} + \frac{2}{21} = \frac{53}{21} ]

Теперь подставим найденные значения обратно в выражение:

[ 74,7 \left(-\frac{7}{3}\right) + (-105,3) \left(\frac{53}{21}\right) ]

Теперь вычислим каждое слагаемое:

1. ( 74,7 \cdot -\frac{7}{3} = -\frac{74,7 \cdot 7}{3} = -\frac{523,9}{3} \approx -174,6333)

2. ( -105,3 \cdot \frac{53}{21} = -\frac{105,3 \cdot 53}{21} \approx -\frac{5580,9}{21} \approx -265,7714)

Теперь сложим два результата:

[ -174,6333 - 265,7714 \approx -440,4047 ]

Таким образом, окончательный результат вычисления данного выражения:

[ \approx -440,40 ]

Давайте детально розглянемо і обчислимо заданий вираз, щоб знайти найпростіший спосіб виконання обчислень:

Маємо вираз:
[ 74,7 \times \left(\frac{2}{21}\right) + (-105,3) \times \left(2\frac{3}{7}\right) - (-105,3) \times \left(\frac{2}{21}\right) - \left(2\frac{3}{7}\right) \times 74,7 ]

Крок 1: Перетворення мішаних чисел у неправильні дроби

Мішане число ( 2\frac{3}{7} ) можна перетворити у неправильний дріб:
[ 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7}. ]

Тепер вираз виглядає так: [ 74,7 \times \frac{2}{21} + (-105,3) \times \frac{17}{7} - (-105,3) \times \frac{2}{21} - \frac{17}{7} \times 74,7. ]

Крок 2: Використання властивостей множення

Звернемо увагу, що вираз має повторювані структури, тому можна спростити його. Перегрупуємо доданки:
[ \left(74,7 \times \frac{2}{21} - \frac{17}{7} \times 74,7 \right) + \left((-105,3) \times \frac{17}{7} - (-105,3) \times \frac{2}{21}\right). ]

Винесемо ( 74,7 ) та ( -105,3 ) за дужки відповідно: [ 74,7 \times \left(\frac{2}{21} - \frac{17}{7}\right) + (-105,3) \times \left(\frac{17}{7} - \frac{2}{21}\right). ]

Крок 3: Приведення дробів до спільного знаменника

Щоб виконати обчислення в дужках, зведемо дроби до спільного знаменника:

• Для (\frac{2}{21}) і (\frac{17}{7}): спільний знаменник (21).
  [ \frac{17}{7} = \frac{17 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{51}{21}. ] Тепер: [ \frac{2}{21} - \frac{17}{7} = \frac{2}{21} - \frac{51}{21} = \frac{2 - 51}{21} = \frac{-49}{21} = -\frac{7}{3}. ]

• Для (\frac{17}{7}) і (\frac{2}{21}): аналогічно:
  [ \frac{17}{7} - \frac{2}{21} = \frac{51}{21} - \frac{2}{21} = \frac{51 - 2}{21} = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}. ]

Отже, вираз спрощується до: [ 74,7 \times \left(-\frac{7}{3}\right) + (-105,3) \times \frac{7}{3}. ]

Крок 4: Винесення спільного множника

Винесемо ( \frac{7}{3} ) за дужки: [ \left(74,7 \times -1 + (-105,3) \times 1\right) \times \frac{7}{3}. ]

В дужках: [ 74,7 \times -1 + (-105,3) \times 1 = -74,7 - 105,3 = -180. ]

Тепер залишилось обчислити: [ -180 \times \frac{7}{3}. ]

Крок 5: Остаточне обчислення

[ -180 \times \frac{7}{3} = -180 \div 3 \times 7 = -60 \times 7 = -420. ]

Відповідь:

[ \boxed{-420}. ]