Обратная функция y=1/2x -1

Чтобы найти обратную функцию для ( y = \frac{1}{2}x - 1 ), нужно выразить ( x ) через ( y ):

1. Переписываем уравнение: [ y + 1 = \frac{1}{2}x ]
2. Умножаем обе стороны на 2: [ 2(y + 1) = x ]
3. Записываем обратную функцию: [ y = 2(x + 1) ]

Таким образом, обратная функция: [ y = 2x + 2 ]

Давайте разберёмся с вопросом о нахождении обратной функции для данной функции, которая записана как ( y = \frac{1}{2}x - 1 ).

1. Определение обратной функции

Обратная функция ( f^{-1}(x) ) — это такая функция, при которой результат подстановки одного значения в другую возвращает исходное значение. То есть, если ( y = f(x) ), то ( x = f^{-1}(y) ). Графически это означает отражение функции относительно прямой ( y = x ).

Для нахождения обратной функции нужно поменять местами ( x ) и ( y ) и выразить ( y ) через ( x ).

2. Процесс нахождения обратной функции

Дана функция: [ y = \frac{1}{2}x - 1 ]

Теперь шаги для нахождения обратной функции:

Шаг 1. Поменяем местами ( x ) и ( y ): [ x = \frac{1}{2}y - 1 ]

Шаг 2. Выразим ( y ) через ( x ). Для этого сначала избавимся от минус единицы: [ x + 1 = \frac{1}{2}y ]

Шаг 3. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2(x + 1) = y ]

Шаг 4. Запишем результат: [ y = 2(x + 1) ] Или, более развёрнуто: [ y = 2x + 2 ]

Это и есть обратная функция.

3. Проверка

Чтобы убедиться, что функции действительно обратны, проверим взаимозамену друг в друга. Для обратных функций должно выполняться: [ f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{и} \quad f^{-1}(f(x)) = x ]

1. Подставим обратную функцию ( f^{-1}(x) = 2x + 2 ) в исходную функцию ( f(x) = \frac{1}{2}x - 1 ): [ f(f^{-1}(x)) = f(2x + 2) = \frac{1}{2}(2x + 2) - 1 = x + 1 - 1 = x ]

2. Подставим исходную функцию ( f(x) = \frac{1}{2}x - 1 ) в обратную функцию ( f^{-1}(x) = 2x + 2 ): [ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{1}{2}x - 1\right) = 2\left(\frac{1}{2}x - 1\right) + 2 = x - 2 + 2 = x ]

Таким образом, обе проверки выполнены успешно, и функции действительно являются обратными.

4. Окончательный ответ

Обратная функция для ( y = \frac{1}{2}x - 1 ) равна: [ f^{-1}(x) = 2x + 2 ]

Чтобы найти обратную функцию для функции ( y = \frac{1}{2}x - 1 ), следуем определенному алгоритму. Обратная функция, по сути, меняет местами ( x ) и ( y ) в уравнении и решает его относительно ( y ).

1. Записываем уравнение: [ y = \frac{1}{2}x - 1 ]

2. Меняем местами ( x ) и ( y ): [ x = \frac{1}{2}y - 1 ]

3. Решаем это уравнение относительно ( y ):

   • Сначала добавим 1 к обеим сторонам уравнения: [ x + 1 = \frac{1}{2}y ]

   • Затем умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2(x + 1) = y ]

4. Записываем найденную функцию: [ y = 2(x + 1) = 2x + 2 ]

Таким образом, обратная функция к ( y = \frac{1}{2}x - 1 ) будет: [ y = 2x + 2 ]

Проверка

Чтобы убедиться, что мы правильно нашли обратную функцию, мы можем проверить, что композиция функции и её обратной функции дает исходное значение ( x ).

1. Проверяем ( f(f^{-1}(x)) ): [ f^{-1}(x) = 2x + 2 ] Подставим в исходную функцию: [ f(2x + 2) = \frac{1}{2}(2x + 2) - 1 = x + 1 - 1 = x ]

2. Проверяем ( f^{-1}(f(x)) ): [ f(x) = \frac{1}{2}x - 1 ] Подставим в обратную функцию: [ f^{-1}\left(\frac{1}{2}x - 1\right) = 2\left(\frac{1}{2}x - 1\right) + 2 = x - 2 + 2 = x ]

Таким образом, обе проверки подтверждают, что мы правильно нашли обратную функцию.

Итог

Обратная функция к ( y = \frac{1}{2}x - 1 ) — это: [ y = 2x + 2 ]