Образующая конуса равна 4см, а угол при вершине осевого сечения равен 90° . Найдите объём конуса

Для решения задачи нам понадобится использовать формулу объема конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] где ( r ) – радиус основания конуса, а ( h ) – высота конуса.

Из условия задачи известно, что образующая конуса ( l ) равна 4 см и угол при вершине осевого сечения равен 90°. Осевое сечение конуса, имеющее угол при вершине 90°, представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, где образующие являются гипотенузами, а высота ( h ) и радиус ( r ) – катетами этого треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то ( h = r ).

Поскольку образующая ( l ) является гипотенузой, то по теореме Пифагора: [ l^2 = r^2 + h^2 ] [ 4^2 = r^2 + r^2 ] [ 16 = 2r^2 ] [ r^2 = 8 ] [ r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см} ] Таким образом, высота ( h ) также равна ( 2\sqrt{2} \, \text{см} ).

Теперь можно вычислить объем конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2}) ] [ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 2\sqrt{2} ] [ V = \frac{16\sqrt{2} \pi}{3} \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем конуса равен ( \frac{16\sqrt{2} \pi}{3} \, \text{см}^3 ).

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу объема конуса, которая выглядит следующим образом: V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

У нас дана образующая конуса, которая равна 4 см. Образующая конуса это гипотенуза прямоугольного треугольника, а угол при вершине осевого сечения равен 90°, следовательно, одна из катетов равен радиусу основания конуса, а второй катет равен высоте конуса.

Из условия задачи мы можем найти радиус основания конуса: r = 4 sin(45°) = 4 √2 / 2 = 2√2 см.

Теперь находим объем конуса: V = (1/3) π (2√2)^2 4 = (1/3) π 8 4 = 32π / 3 см^3.

Итак, объем конуса равен 32π / 3 кубических сантиметра.