Общий вид первообразной функции: f(x)=4/x^5

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = \frac{4}{x^5} ), мы ищем функцию ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ). Для этого используем правило интегрирования степенной функции.

Функция, которую мы имеем, может быть переписана в виде:

[ f(x) = 4x^{-5} ]

Теперь найдем первообразную, используя правило интегрирования для степенной функции:

[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, ]

где ( n \neq -1 ) и ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Применим это правило к нашей функции:

[ \int 4x^{-5} \, dx = 4 \int x^{-5} \, dx. ]

Теперь посчитаем интеграл:

[ \int x^{-5} \, dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = \frac{x^{-4}}{-4}. ]

Подставляем это в выражение для первообразной:

[ 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} = -x^{-4}. ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = \frac{4}{x^5} ) будет:

[ F(x) = -x^{-4} + C = -\frac{1}{x^4} + C, ]

где ( C ) — произвольная постоянная.

В итоге, общий вид первообразной функции ( f(x) = \frac{4}{x^5} ) — это ( F(x) = -\frac{1}{x^4} + C ).

Для нахождения первообразной функции f(x)=4/x^5 необходимо применить правило интегрирования степенной функции, которое гласит, что интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Применяя это правило к функции f(x)=4/x^5, получаем:

∫(4/x^5)dx = 4∫(x^(-5))dx = 4 * (x^(-5+1))/(-5+1) + C = -4/(4x^4) + C = -1/(x^4) + C.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x)=4/x^5 равен -1/(x^4) + C, где C - произвольная постоянная.