Один из корней уравнения 2х^2+10х+q=0 на 3 больше другого. Найдите свободный член q. Решение объясните,...

Для решения задачи, где один из корней уравнения ( 2x^2 + 10x + q = 0 ) на 3 больше другого, используем свойства корней квадратного уравнения и метод подстановки.

Обозначим корни уравнения через ( x_1 ) и ( x_2 ). Пусть ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения, тогда по условию ( x_2 = x_1 + 3 ).

По теореме Виета, для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) сумма корней равна (-\frac{b}{a}), а произведение корней равно (\frac{c}{a}). В нашем случае ( a = 2 ), ( b = 10 ), и ( c = q ).

1. Сначала запишем сумму корней: [ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{2} = -5 ]

2. Подставим ( x_2 = x_1 + 3 ) в уравнение для суммы корней: [ x_1 + (x_1 + 3) = -5 ] [ 2x_1 + 3 = -5 ] [ 2x_1 = -8 ] [ x_1 = -4 ]

3. Теперь найдем ( x_2 ): [ x_2 = x_1 + 3 = -4 + 3 = -1 ]

4. Далее используем теорему Виета для произведения корней: [ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{2} ]

5. Подставим найденные значения корней: [ (-4) \cdot (-1) = \frac{q}{2} ] [ 4 = \frac{q}{2} ] [ q = 8 ]

Итак, свободный член ( q ) равен 8.

Таким образом, мы нашли значение ( q ) с помощью теоремы Виета и подстановки, подтвердив, что один корень уравнения действительно на 3 больше другого.

Для начала, обозначим корни уравнения как x1 и x2. По условию задачи, мы знаем, что один из корней на 3 больше другого, то есть x1 = x2 + 3.

Так как сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, где у нас коэффициент при x равен 10 (b = 10) и коэффициент при x^2 равен 2 (a = 2), то мы можем записать уравнение:

x1 + x2 = -b/a x2 + 3 + x2 = -10/2 2x2 + 3 = -5 2x2 = -8 x2 = -4

Теперь, найдем второй корень, используя x1 = x2 + 3: x1 = -4 + 3 = -1

Теперь, найдем свободный член q, используя формулу: q = x1 x2 q = (-1) (-4) q = 4

Таким образом, свободный член q равен 4.