Один из корней уравнения 2х^2+10х+q=0 на 3 больше другого. Найдите свободный член q. Решение объясните,...

Для решения задачи, где один из корней уравнения $2x^2+10x+q=0$ на 3 больше другого, используем свойства корней квадратного уравнения и метод подстановки.

Обозначим корни уравнения через $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, тогда по условию $x_2=x_1+3$.

По теореме Виета, для квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение корней равно $\frac{c}{a}$. В нашем случае $a=2$, $b=10$, и $c=q$.

1. Сначала запишем сумму корней: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{2}=-5$

2. Подставим $x_2=x_1+3$ в уравнение для суммы корней: $x_1+(x_1+3)=-5$ $2x_1+3=-5$ $2x_1=-8$ $x_1=-4$

3. Теперь найдем $x_2$: $x_2=x_1+3=-4+3=-1$

4. Далее используем теорему Виета для произведения корней: $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{q}{2}$

5. Подставим найденные значения корней: $(-4)\cdot (-1)=\frac{q}{2}$ $4=\frac{q}{2}$ $q=8$

Итак, свободный член $q$ равен 8.

Таким образом, мы нашли значение $q$ с помощью теоремы Виета и подстановки, подтвердив, что один корень уравнения действительно на 3 больше другого.

Для начала, обозначим корни уравнения как x1 и x2. По условию задачи, мы знаем, что один из корней на 3 больше другого, то есть x1 = x2 + 3.

Так как сумма корней квадратного уравнения равна -b/a, где у нас коэффициент при x равен 10 $b=10$ и коэффициент при x^2 равен 2 $a=2$, то мы можем записать уравнение:

x1 + x2 = -b/a x2 + 3 + x2 = -10/2 2x2 + 3 = -5 2x2 = -8 x2 = -4

Теперь, найдем второй корень, используя x1 = x2 + 3: x1 = -4 + 3 = -1

Теперь, найдем свободный член q, используя формулу: q = x1 x2 q = $-1$ $-4$ q = 4

Таким образом, свободный член q равен 4.