Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы должны быть коллинеарны, то есть пропорциональны. Нормальный вектор плоскости задается коэффициентами при переменных , и в уравнении плоскости.
Рассмотрим уравнения плоскостей:
Нормальный вектор первой плоскости: ).
Нормальный вектор второй плоскости: ).
Для того чтобы плоскости были параллельны, нормальные векторы и должны быть пропорциональны, то есть:
Это означает, что существует некоторое число , такое что:
Разложим это на систему уравнений:
Из первого уравнения находим :
Теперь подставим значение во второе уравнение:
Решим это уравнение относительно :
Теперь, подставив в третье уравнение, найдём :
Таким образом, для того чтобы плоскости были параллельны, значения и должны быть следующими:
При этих значениях коэффициентов нормальные векторы плоскостей будут коллинеарны, и сами плоскости будут параллельны.