определить при каких значениях l и m следущии пары уравнений будут определять параллельные плоскости 3x-y+lz-9=0 ; 2x+my+2z-3=0
определить при каких значениях l и m следущии пары уравнений будут определять параллельные плоскости 3x-y+lz-9=0 ; 2x+my+2z-3=0
Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы должны быть коллинеарны, то есть пропорциональны. Нормальный вектор плоскости задается коэффициентами при переменных ( x ), ( y ) и ( z ) в уравнении плоскости.
Рассмотрим уравнения плоскостей:
Нормальный вектор первой плоскости: ( \vec{n_1} = (3, -1, l) ).
Нормальный вектор второй плоскости: ( \vec{n_2} = (2, m, 2) ).
Для того чтобы плоскости были параллельны, нормальные векторы ( \vec{n_1} ) и ( \vec{n_2} ) должны быть пропорциональны, то есть:
[ \vec{n_1} \parallel \vec{n_2} ]
Это означает, что существует некоторое число ( k ), такое что:
[ (3, -1, l) = k \cdot (2, m, 2) ]
Разложим это на систему уравнений:
Из первого уравнения находим ( k ):
[ k = \frac{3}{2} ]
Теперь подставим значение ( k ) во второе уравнение:
[ -1 = m \cdot \frac{3}{2} ]
Решим это уравнение относительно ( m ):
[ m = -\frac{2}{3} ]
Теперь, подставив ( k ) в третье уравнение, найдём ( l ):
[ l = 2 \cdot \frac{3}{2} ] [ l = 3 ]
Таким образом, для того чтобы плоскости были параллельны, значения ( l ) и ( m ) должны быть следующими:
[ l = 3 ] [ m = -\frac{2}{3} ]
При этих значениях коэффициентов нормальные векторы плоскостей будут коллинеарны, и сами плоскости будут параллельны.
Для того чтобы уравнения определяли параллельные плоскости, их нормальные векторы должны быть пропорциональны. В данном случае нормальные векторы равны (3, -1, l) и (2, m, 2). Это значит, что l/3 = m/2 = -1/2. Следовательно, l = -3/2, m = -3.
Для того чтобы определить, будут ли параллельными плоскости, заданные уравнения должны иметь одинаковые нормальные векторы. Нормальный вектор к плоскости задается коэффициентами перед переменными x, y и z в уравнении плоскости.
Итак, нормальные векторы к первой и второй плоскостям:
Первая плоскость: (3, -1, l) Вторая плоскость: (2, m, 2)
Для того чтобы плоскости были параллельны, нормальные векторы должны быть коллинеарными, то есть один вектор должен быть кратен другому. Это означает, что отношение между соответствующими координатами должно быть постоянным.
Следовательно, если координаты нормальных векторов пропорциональны, то плоскости будут параллельными.
3/2 = -1/m = l/2
Отсюда получаем, что l = 6 и m = -2. Таким образом, при значениях l = 6 и m = -2 данные уравнения определяют параллельные плоскости.
