Для того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы должны быть коллинеарны, то есть пропорциональны. Нормальный вектор плоскости задается коэффициентами при переменных ( x ), ( y ) и ( z ) в уравнении плоскости.
Рассмотрим уравнения плоскостей:
- ( 3x - y + lz - 9 = 0 )
- ( 2x + my + 2z - 3 = 0 )
Нормальный вектор первой плоскости: ( \vec{n_1} = (3, -1, l) ).
Нормальный вектор второй плоскости: ( \vec{n_2} = (2, m, 2) ).
Для того чтобы плоскости были параллельны, нормальные векторы ( \vec{n_1} ) и ( \vec{n_2} ) должны быть пропорциональны, то есть:
[ \vec{n_1} \parallel \vec{n_2} ]
Это означает, что существует некоторое число ( k ), такое что:
[ (3, -1, l) = k \cdot (2, m, 2) ]
Разложим это на систему уравнений:
- ( 3 = 2k )
- ( -1 = mk )
- ( l = 2k )
Из первого уравнения находим ( k ):
[ k = \frac{3}{2} ]
Теперь подставим значение ( k ) во второе уравнение:
[ -1 = m \cdot \frac{3}{2} ]
Решим это уравнение относительно ( m ):
[ m = -\frac{2}{3} ]
Теперь, подставив ( k ) в третье уравнение, найдём ( l ):
[ l = 2 \cdot \frac{3}{2} ]
[ l = 3 ]
Таким образом, для того чтобы плоскости были параллельны, значения ( l ) и ( m ) должны быть следующими:
[ l = 3 ]
[ m = -\frac{2}{3} ]
При этих значениях коэффициентов нормальные векторы плоскостей будут коллинеарны, и сами плоскости будут параллельны.