Определить промежуток знакопостоянства функции:f(x)=(x-1)(x+2)/(x-3)(x+4),помогите пожалуйста.

Для определения промежутков знакопостоянства функции необходимо вычислить значения функции в точках, где знаменатель и числитель изменяют знак.

Функция f(x) = (x-1)(x+2)/(x-3)(x+4) меняет знак при корнях уравнений, равных нулю, то есть при значениях x, при которых числитель или знаменатель равны нулю.

1) Найдем корни числителя: (x-1)(x+2) = 0 x-1 = 0 => x = 1 x+2 = 0 => x = -2

2) Найдем корни знаменателя: (x-3)(x+4) = 0 x-3 = 0 => x = 3 x+4 = 0 => x = -4

Таким образом, промежутки изменения знака функции f(x) = (x-1)(x+2)/(x-3)(x+4) будут следующими: 1) (-∞, -4) 2) (-4, -2) 3) (-2, 1) 4) (1, 3) 5) (3, +∞)

Для каждого из этих промежутков необходимо выбрать произвольное значение x из этого промежутка и подставить его в функцию f(x), чтобы определить знак функции на этом промежутке.

Для определения промежутков знакопостоянства функции ( f(x) = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+4)} ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: ( (x-1)(x+2) = 0 )
     • Нули числителя: ( x = 1 ) и ( x = -2 )
   • Знаменатель: ( (x-3)(x+4) = 0 )
     • Нули знаменателя: ( x = 3 ) и ( x = -4 )
     • Эти значения (3 и -4) вызывают разрыв функции, так как при них знаменатель обращается в ноль.

2. Отметить критические точки на числовой прямой:

   • Критические точки: ( -4, -2, 1, 3 )

3. Разбить числовую прямую на промежутки, используя критические точки:

   • Промежутки: ( (-\infty, -4), (-4, -2), (-2, 1), (1, 3), (3, \infty) )

4. Определить знак функции на каждом из промежутков:

   • Выбираем тестовые точки из каждого промежутка и подставляем их в функцию ( f(x) ).

Проверка знака на каждом промежутке:

• Промежуток ( (-\infty, -4) ):

  • Тестовая точка: ( x = -5 )
  • ( f(-5) = \frac{(-5-1)(-5+2)}{(-5-3)(-5+4)} = \frac{(-6)(-3)}{(-8)(-1)} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} > 0 )
  • Знак функции: ( + )

• Промежуток ( (-4, -2) ):

  • Тестовая точка: ( x = -3 )
  • ( f(-3) = \frac{(-3-1)(-3+2)}{(-3-3)(-3+4)} = \frac{(-4)(-1)}{(-6)(1)} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} < 0 )
  • Знак функции: ( - )

• Промежуток ( (-2, 1) ):

  • Тестовая точка: ( x = 0 )
  • ( f(0) = \frac{(0-1)(0+2)}{(0-3)(0+4)} = \frac{(-1)(2)}{(-3)(4)} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6} > 0 )
  • Знак функции: ( + )

• Промежуток ( (1, 3) ):

  • Тестовая точка: ( x = 2 )
  • ( f(2) = \frac{(2-1)(2+2)}{(2-3)(2+4)} = \frac{(1)(4)}{(-1)(6)} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} < 0 )
  • Знак функции: ( - )

• Промежуток ( (3, \infty) ):

  • Тестовая точка: ( x = 4 )
  • ( f(4) = \frac{(4-1)(4+2)}{(4-3)(4+4)} = \frac{(3)(6)}{(1)(8)} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} > 0 )
  • Знак функции: ( + )

Итог:

Функция ( f(x) ) положительна на промежутках:

• ( (-\infty, -4) )
• ( (-2, 1) )
• ( (3, \infty) )

Функция ( f(x) ) отрицательна на промежутках:

• ( (-4, -2) )
• ( (1, 3) )

Таким образом, промежутки знакопостоянства функции ( f(x) ) следующие:

• ( f(x) > 0 ) на ( (-\infty, -4) \cup (-2, 1) \cup (3, \infty) )
• ( f(x) < 0 ) на ( (-4, -2) \cup (1, 3) )