Определите значение х при котором вектор а{-4-2х;3х+2} коллианеарен вектору b{3;-4}
Определите значение х при котором вектор а{-4-2х;3х+2} коллианеарен вектору b{3;-4}
Чтобы определить значение ( x ), при котором вектор ( \mathbf{a} {-4-2x; 3x+2} ) коллинеарен вектору ( \mathbf{b} {3; -4} ), нужно использовать условие коллинеарности векторов.
Два вектора коллинеарны, если один из них является произведением другого на некоторый скаляр. Для двухмерных векторов это означает, что отношение соответствующих координат одинаково:
[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}, ]
где ( a_1 ) и ( a_2 ) — координаты вектора ( \mathbf{a} ), а ( b_1 ) и ( b_2 ) — координаты вектора ( \mathbf{b} ).
Подставим координаты векторов: [ \frac{-4 - 2x}{3} = \frac{3x + 2}{-4}. ]
Теперь решим это уравнение. Для удобства избавимся от дробей, умножив обе стороны уравнения на знаменатели ( 3 ) и ( -4 ):
[ (-4 - 2x)(-4) = (3x + 2)(3). ]
Раскроем скобки: [ 16 + 8x = 9x + 6. ]
Приведем подобные слагаемые: [ 16 - 6 = 9x - 8x, ] [ 10 = x. ]
Итак, ( x = 10 ).
Проверка:
Подставим ( x = 10 ) в координаты вектора ( \mathbf{a} ): [ a_1 = -4 - 2x = -4 - 2(10) = -4 - 20 = -24, ] [ a_2 = 3x + 2 = 3(10) + 2 = 30 + 2 = 32. ]
Тогда ( \mathbf{a} = {-24; 32} ), а ( \mathbf{b} = {3; -4} ).
Проверим отношение координат: [ \frac{-24}{3} = -8, \quad \frac{32}{-4} = -8. ]
Отношение одинаково, значит, ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) действительно коллинеарны при ( x = 10 ).
Ответ: ( x = 10 ).
Для того чтобы векторы (\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -4 - 2x \ 3x + 2 \end{pmatrix}) и (\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -4 \end{pmatrix}) были коллинеарны, необходимо, чтобы один из векторов был кратен другому. Это можно выразить через равенство:
[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} ]
где (a_1) и (a_2) — компоненты вектора (\mathbf{a}), а (b_1) и (b_2) — компоненты вектора (\mathbf{b}).
Подставим значения:
[ \frac{-4 - 2x}{3} = \frac{3x + 2}{-4} ]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, перемножим обе стороны уравнения на (3 \cdot (-4)):
[ -4(-4 - 2x) = 3(3x + 2) ]
Раскроем скобки:
[ 16 + 8x = 9x + 6 ]
Теперь приведем все члены с (x) на одну сторону, а константы на другую:
[ 16 - 6 = 9x - 8x ]
Это упрощается до:
[ 10 = x ]
Таким образом, значение (x), при котором вектор (\mathbf{a}) коллинеарен вектору (\mathbf{b}), равно (x = 10).
