Осевое сечение цилиндра квадрат с диагональю 12 см вычислите объем цилиндра

Для того чтобы вычислить объем цилиндра, нам необходимо знать площадь основания цилиндра и его высоту. В данном случае, так как осевое сечение цилиндра - квадрат с диагональю 12 см, можно найти сторону квадрата, используя теорему Пифагора: (a^2 + a^2 = 12^2), где a - сторона квадрата. Решив эту задачу, найдем, что сторона квадрата равна (a = 6\sqrt{2}) см.

Площадь основания цилиндра равна площади квадрата, то есть (S_{\text{осн}} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72) см².

Теперь нужно найти высоту цилиндра. Поскольку осевое сечение цилиндра - квадрат, то его диагональ можно рассматривать как диаметр основания цилиндра. Следовательно, радиус цилиндра равен половине диагонали квадрата, то есть (r = \frac{12}{2} = 6) см.

Объем цилиндра можно вычислить по формуле: (V = \pi r^2 h), где h - высота цилиндра. Подставив известные значения, получаем: (V = \pi \times 6^2 \times h = 36\pi h) см³.

Таким образом, объем цилиндра равен (36\pi h) см³, где h - высота цилиндра.

Чтобы найти объем цилиндра, нужно знать его радиус основания и высоту. Давайте разберемся, как эти параметры связаны с осевым сечением, которое у нас дано в виде квадрата с диагональю 12 см.

1. Осевое сечение цилиндра: Это сечение, которое проходит через ось цилиндра. В данном случае оно представляет собой квадрат. Диагональ этого квадрата равна 12 см.

2. Свойства квадрата: В квадрате диагональ (d) связана со стороной (a) следующим образом: [ d = a\sqrt{2} ]

   Подставим известное значение диагонали: [ 12 = a\sqrt{2} ]

   Найдем длину стороны (a): [ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]

3. Связь с высотой и диаметром цилиндра: Поскольку осевое сечение является квадратом, сторона квадрата (a) равна высоте цилиндра (h) и также равна диаметру основания цилиндра (d). Поэтому: [ h = 6\sqrt{2} \quad \text{и} \quad d = 6\sqrt{2} ]

   Радиус основания (r) равен половине диаметра: [ r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ]

4. Вычисление объема цилиндра: Объем цилиндра (V) вычисляется по формуле: [ V = \pi r^2 h ]

   Подставим найденные значения радиуса и высоты: [ V = \pi (3\sqrt{2})^2 (6\sqrt{2}) ]

   Вычислим: [ (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 ]

   [ V = \pi \cdot 18 \cdot 6\sqrt{2} = 108\sqrt{2} \pi ]

Таким образом, объем цилиндра равен (108\sqrt{2} \pi) кубических сантиметров.