Основание равнобедренной трапеции равны 7 и 19, а ее периметр равен 46. Найдите площадь трапеции.
Основание равнобедренной трапеции равны 7 и 19, а ее периметр равен 46. Найдите площадь трапеции.
Для того чтобы найти площадь данной равнобедренной трапеции, необходимо выполнить несколько шагов.
Определение длин боковых сторон:
Пусть ( a = 7 ) и ( b = 19 ) — основания трапеции. Периметр трапеции равен 46, следовательно, сумма длин боковых сторон равна: [ 46 - (7 + 19) = 46 - 26 = 20. ] Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, и их длина составляет: [ \frac{20}{2} = 10. ]
Вычисление высоты трапеции:
Для нахождения высоты трапеции воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим трапецию ( ABCD ) с основаниями ( AB = 7 ) и ( CD = 19 ), и боковыми сторонами ( AD = BC = 10 ).
Проведем высоты из вершин ( A ) и ( B ) на основание ( CD ). Пусть эти высоты пересекаются с ( CD ) в точках ( M ) и ( N ) соответственно. Тогда отрезок ( MN ) является частью основания ( CD ) и равен ( AB = 7 ).
Пусть ( CM = DN = x ). Тогда: [ CM + MN + DN = CD \implies x + 7 + x = 19 \implies 2x + 7 = 19 \implies 2x = 12 \implies x = 6. ]
Теперь можем найти высоту ( h ) трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник ( CMD ), где ( CD = 6 ) и гипотенуза ( AD = 10 ): [ AD^2 = CM^2 + h^2 \implies 10^2 = 6^2 + h^2 \implies 100 = 36 + h^2 \implies h^2 = 64 \implies h = 8. ]
Вычисление площади трапеции:
Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h, ] где ( a ) и ( b ) — основания трапеции, а ( h ) — ее высота. Подставляем известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (7 + 19) \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 8 = 13 \cdot 8 = 104. ]
Итак, площадь равнобедренной трапеции равна ( 104 ) квадратных единиц.
Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту равнобедренной трапеции, затем по формуле для площади трапеции вычислить ее площадь.
Обозначим основания трапеции как a и b (где a = 7, b = 19), а высоту как h. Так как трапеция равнобедренная, то ее высота будет равна биссектрисе угла между основаниями. Разобьем трапецию на два прямоугольных треугольника, используя биссектрису:
Теперь можем составить систему уравнений для нахождения h: a^2 = h^2 + (b - a/2)^2 b^2 = h^2 + (a - b/2)^2
Подставим известные значения: 49 = h^2 + (19 - 7/2)^2 361 = h^2 + (7 - 19/2)^2
Решив систему уравнений, найдем h = 5. Далее, используем формулу для площади трапеции: S = (a + b) h / 2 S = (7 + 19) 5 / 2 S = 26 * 5 / 2 S = 65 / 2 S = 32.5
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 32.5.
Площадь равнобедренной трапеции равна 84.
