Периметр прямоугольного треугольника равен 84см, а его гипотенуза равна 37см. Найдите площадь этого треугольника
Периметр прямоугольного треугольника равен 84см, а его гипотенуза равна 37см. Найдите площадь этого треугольника
Для нахождения площади прямоугольного треугольника, когда известны его периметр и гипотенуза, воспользуемся следующими данными:
Обозначим катеты треугольника как ( a ) и ( b ). Периметр прямоугольного треугольника можно записать как:
[ P = a + b + c ]
Подставив значения, получаем:
[ 84 = a + b + 37 ]
Теперь выразим сумму катетов:
[ a + b = 84 - 37 = 47 ]
Теперь у нас есть две переменные: ( a + b = 47 ) и ( c = 37 ). В прямоугольном треугольнике также выполняется теорема Пифагора:
[ a^2 + b^2 = c^2 ]
Подставим значение гипотенузы:
[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 ]
Теперь у нас есть система уравнений:
Чтобы решить систему, выразим ( b ) через ( a ) из первого уравнения:
[ b = 47 - a ]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 ]
Раскроем скобки:
[ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369 ]
Соберем все члены в одно уравнение:
[ 2a^2 - 94a + 2209 - 1369 = 0 ]
Упростим уравнение:
[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 ]
Теперь разделим все коэффициенты на 2 для удобства:
[ a^2 - 47a + 420 = 0 ]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 ]
Теперь найдем корни уравнения:
[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{47 \pm 23}{2} ]
Таким образом, получаем два возможных значения для ( a ):
[ a_1 = \frac{70}{2} = 35, \quad a_2 = \frac{24}{2} = 12 ]
Теперь найдем соответствующие значения для ( b ):
Таким образом, катеты треугольника равны ( 12 ) см и ( 35 ) см. Теперь можем найти площадь ( S ) прямоугольного треугольника:
[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 ]
Выразим площадь:
[ S = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет ( 210 \, \text{см}^2 ).
Для решения задачи нам нужно найти стороны прямоугольного треугольника, после чего можно будет вычислить его площадь.
Найти площадь треугольника.
Пусть ( a ) и ( b ) — катеты треугольника, а ( c ) — гипотенуза. Сумма всех сторон равна периметру: [ a + b + c = 84. ] Подставим значение гипотенузы (( c = 37 )): [ a + b + 37 = 84. ] Отсюда: [ a + b = 47. \tag{1} ]
Также, по теореме Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2. ] Подставим ( c = 37 ): [ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369. \tag{2} ]
У нас есть система из двух уравнений: [ a + b = 47, \tag{1} ] [ a^2 + b^2 = 1369. \tag{2} ]
Из первого уравнения выразим ( b ) через ( a ): [ b = 47 - a. \tag{3} ]
Подставим ( b = 47 - a ) в уравнение (2): [ a^2 + (47 - a)^2 = 1369. ]
Раскроем скобки: [ a^2 + (47^2 - 2 \cdot 47 \cdot a + a^2) = 1369, ] [ a^2 + (2209 - 94a + a^2) = 1369. ]
Соберем подобные слагаемые: [ 2a^2 - 94a + 2209 = 1369. ]
Приведем уравнение к стандартному виду: [ 2a^2 - 94a + 840 = 0. ]
Упростим, разделив обе части уравнения на 2: [ a^2 - 47a + 420 = 0. \tag{4} ]
Уравнение (4) решим по формуле корней квадратного уравнения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ] Здесь коэффициенты:
Подставим в формулу: [ a = \frac{-(-47) \pm \sqrt{(-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420}}{2 \cdot 1}, ] [ a = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 1680}}{2}, ] [ a = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2}. ]
Извлечем корень: [ \sqrt{529} = 23. ]
Получаем два корня: [ a = \frac{47 + 23}{2} = \frac{70}{2} = 35, ] [ a = \frac{47 - 23}{2} = \frac{24}{2} = 12. ]
Если ( a = 35 ), то из уравнения (3) ( b = 47 - a ): [ b = 47 - 35 = 12. ]
Если ( a = 12 ), то ( b = 47 - 12 ): [ b = 35. ]
Таким образом, катеты треугольника равны ( a = 12 ) и ( b = 35 ) (или наоборот).
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. ] Подставим значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \, \text{см}^2. ]
Площадь треугольника равна ( 210 \, \text{см}^2 ).
