Пешеход сначала шел в горку со скоростью 3 км/ч, а затем спускался с нее со скоростью 5 км/ч. Найдите общий путь, проделанный пешеходом, если дорога в горку на 1 км длиннее спуска, а затраченное на весь путь время равно 3ч.
Пешеход сначала шел в горку со скоростью 3 км/ч, а затем спускался с нее со скоростью 5 км/ч. Найдите общий путь, проделанный пешеходом, если дорога в горку на 1 км длиннее спуска, а затраченное на весь путь время равно 3ч.
Обозначим длину спуска как х км. Тогда длина подъема будет (х+1) км. Время, затраченное на подъем: (х+1) / 3 Время, затраченное на спуск: х / 5 Сумма времени равна 3 часам: (х+1) / 3 + х / 5 = 3 Далее решаем уравнение, найдем х, затем общее расстояние, пройденное пешеходом.
Чтобы решить задачу, давайте обозначим длину спуска как ( x ) километров. Тогда длина подъема будет ( x + 1 ) километров.
Далее, введем обозначения для скоростей:
Теперь найдем время, затраченное на подъем и спуск отдельно:
Время на подъем ( t{\text{подъем}} ): [ t{\text{подъем}} = \frac{\text{Длина подъема}}{\text{Скорость подъема}} = \frac{x + 1}{3} ]
Время на спуск ( t{\text{спуск}} ): [ t{\text{спуск}} = \frac{\text{Длина спуска}}{\text{Скорость спуска}} = \frac{x}{5} ]
Суммарное время на весь путь: [ t{\text{подъем}} + t{\text{спуск}} = 3 \text{ часа} ]
Подставим выражения для времени и составим уравнение: [ \frac{x + 1}{3} + \frac{x}{5} = 3 ]
Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель для дробей, который равен 15: [ \frac{5(x + 1)}{15} + \frac{3x}{15} = 3 ]
Упростим это выражение: [ \frac{5x + 5 + 3x}{15} = 3 ] [ \frac{8x + 5}{15} = 3 ]
Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от знаменателя: [ 8x + 5 = 45 ]
Решим это уравнение: [ 8x = 45 - 5 ] [ 8x = 40 ] [ x = 5 ]
Итак, длина спуска ( x ) равна 5 км. Следовательно, длина подъема: [ x + 1 = 5 + 1 = 6 \text{ км} ]
Теперь найдем общий путь, проделанный пешеходом: [ \text{Общий путь} = \text{Длина подъема} + \text{Длина спуска} = 6 \text{ км} + 5 \text{ км} = 11 \text{ км} ]
Таким образом, общий путь, проделанный пешеходом, составляет 11 километров.
Обозначим общий путь, пройденный пешеходом, как S. Пусть время, затраченное на подъем в горку, равно t1, а время спуска с горки равно t2.
Так как скорость равна пути, поделенному на время, мы можем записать уравнения:
Также, по условию задачи, мы знаем, что дорога в горку на 1 км длиннее спуска. То есть, S - 1 = S + 1 - 1 = 5t2 - 1 (длина дороги в горку) и S = 3t1 + 1 (длина дороги спуска).
Также нам дано, что общее затраченное время равно 3 часам. Поэтому t1 + t2 = 3.
Теперь мы можем составить систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения t1 и t2:
Теперь можем найти общий путь, пройденный пешеходом: S = 3t1 = 3 * 2 = 6 км
Итак, общий путь, проделанный пешеходом, равен 6 км.
