Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим

Для решения данной задачи нам необходимо использовать метод дифференциального исчисления. Обозначим длину прямоугольника за x, а ширину за y. Таким образом, площадь прямоугольника равна xy = 64.

Периметр прямоугольника равен P = 2x + 2y.

Нам необходимо найти минимум функции периметра P относительно переменной x. Для этого найдем производную функции P по x и приравняем ее к нулю:

dP/dx = 2 - 0 = 2.

Таким образом, минимум функции периметра достигается при x = y = 8 см. То есть, прямоугольник со сторонами длиной 8 см и шириной 8 см будет иметь наименьший периметр.

Для того чтобы найти размеры прямоугольника с заданной площадью, при которых периметр будет наименьшим, давайте разберемся в общем подходе к решению этой задачи.

1. Исходные данные:

   • Площадь прямоугольника ( S = 64 ) см².
   • Периметр прямоугольника ( P = 2(a + b) ), где ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника.

2. Выразим одну сторону через другую с учетом площади:

   • Поскольку ( S = a \times b = 64 ), то одну из сторон можно выразить через другую: ( b = \frac{64}{a} ).

3. Периметр в зависимости от одной переменной:

   • Подставим ( b = \frac{64}{a} ) в формулу периметра: [ P = 2\left(a + \frac{64}{a}\right) = 2a + \frac{128}{a} ]

4. Минимизация периметра:

   • Чтобы минимизировать ( P ), необходимо найти производную этой функции и затем найти её критические точки: [ P'(a) = 2 - \frac{128}{a^2} ]
   • Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: [ 2 - \frac{128}{a^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{128}{a^2} = 2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad a = 8 ]
   • Подставив ( a = 8 ) обратно, найдём ( b ): [ b = \frac{64}{a} = \frac{64}{8} = 8 ]

5. Заключение:

   • Таким образом, периметр будет минимальным, когда прямоугольник является квадратом со сторонами 8 см.
   • Тогда минимальный периметр составит: [ P = 2(8 + 8) = 32 \text{ см} ]

Вывод: для минимального периметра прямоугольник должен быть квадратом с длиной стороны 8 см.