Площадь прямоугольного треугольника 6 см^2. Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного...

Рассмотрим задачу. У нас есть прямоугольный треугольник с площадью ( 6 \, \text{см}^2 ). Нужно найти наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.

1. Основные формулы и условия

Площадь прямоугольного треугольника выражается через его катеты ( a ) и ( b ) следующим образом: [ S = \frac{1}{2} a b. ] Так как ( S = 6 ), то [ \frac{1}{2} a b = 6 \quad \Rightarrow \quad a b = 12. \tag{1} ]

Гипотенуза ( c ) прямоугольного треугольника связана с катетами через теорему Пифагора: [ c^2 = a^2 + b^2. \tag{2} ]

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна ( c^2 ). Нам нужно минимизировать ( c^2 ), используя условия задачи.

2. Работа с формулами

Из уравнения (1) катеты ( a ) и ( b ) связаны как ( ab = 12 ). Мы хотим минимизировать ( c^2 = a^2 + b^2 ). Для этого выразим ( b ) через ( a ): [ b = \frac{12}{a}. \tag{3} ]

Подставляем ( b = \frac{12}{a} ) в выражение для ( c^2 ): [ c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \left(\frac{12}{a}\right)^2. ] [ c^2 = a^2 + \frac{144}{a^2}. \tag{4} ]

Теперь нам нужно минимизировать функцию: [ f(a) = a^2 + \frac{144}{a^2}, \quad \text{при } a > 0. ]

3. Минимизация функции

Для минимизации функции найдем её производную и приравняем к нулю: [ f'(a) = 2a - \frac{288}{a^3}. ] Приравняем к нулю: [ 2a - \frac{288}{a^3} = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a = \frac{288}{a^3}. ] Умножим на ( a^3 ) (при ( a > 0 )): [ 2a^4 = 288 \quad \Rightarrow \quad a^4 = 144 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[4]{144} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. ]

Соответственно, ( b ) из (3) будет: [ b = \frac{12}{a} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. ]

4. Вычисление минимальной гипотенузы

Подставляем ( a = 2\sqrt{3} ) и ( b = 2\sqrt{3} ) в формулу для ( c^2 ): [ c^2 = a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 12 + 12 = 24. ]

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна ( c^2 = 24 \, \text{см}^2 ).

5. Ответ

Наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе, равно: [ \boxed{24 \, \text{см}^2}. ]

Чтобы найти наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника с известной площадью, давайте начнем с формул и основных понятий.

1. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты ( a ) и ( b ): [ S = \frac{1}{2}ab ] У нас есть площадь ( S = 6 \, \text{см}^2 ), следовательно: [ \frac{1}{2}ab = 6 \implies ab = 12 ]

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника: Гипотенуза ( c ) может быть найдена по теореме Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} ]

3. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна ( c^2 ): [ c^2 = a^2 + b^2 ]

4. Выразим ( a^2 + b^2 ) через ( ab )**: Существует связь между произведением и суммой катетов через неравенство: [ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ] Отсюда: [ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab ]

5. Параметризация: Чтобы минимизировать ( c^2 ), мы можем использовать переменные для ( a ) и ( b ). Давайте выразим ( a ) через ( b ): [ a = \frac{12}{b} ] Подставим это в выражение для ( c^2 ): [ c^2 = \left(\frac{12}{b}\right)^2 + b^2 ] [ c^2 = \frac{144}{b^2} + b^2 ]

6. Минимизация: Теперь найдем производную ( c^2 ) по ( b ) и приравняем её к нулю: [ \frac{d}{db} \left( \frac{144}{b^2} + b^2 \right) = -\frac{288}{b^3} + 2b ] Установим производную равной нулю: [ -\frac{288}{b^3} + 2b = 0 \implies 2b^4 = 288 \implies b^4 = 144 \implies b = \sqrt[4]{144} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

7. Находим ( a ): [ a = \frac{12}{b} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

8. Подсчитаем ( c ): [ c^2 = a^2 + b^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 12 + 12 = 24 ]

Таким образом, наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равного ( 24 \, \text{см}^2 ).

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна квадрату длины гипотенузы. По теореме Пифагора, если катеты треугольника обозначить как (a) и (b), то гипотенуза (c) равна (c = \sqrt{a^2 + b^2}). Площадь треугольника равна (\frac{1}{2}ab), и в данном случае она равна 6 см², то есть (ab = 12).

Чтобы минимизировать площадь квадрата на гипотенузе, необходимо минимизировать (c^2): [ c^2 = a^2 + b^2. ]

Согласно неравенству Герона, для фиксированной площади (S) минимальное значение (c^2) достигается, когда (a) и (b) равны. В этом случае: [ a = b, ] [ ab = 12 \Rightarrow a^2 = 12 \Rightarrow a = b = 2\sqrt{3}. ]

Теперь вычислим (c^2): [ c^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 12 + 12 = 24. ]

Таким образом, наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе, равно (24 \text{ см}^2).