Помогите найти область определения f(x)=log (4)((9-x^2)/(x-2))

Чтобы найти область определения функции ( f(x) = \log_4 \left( \frac{9-x^2}{x-2} \right) ), нам нужно учесть два основных условия:

1. Выражение под логарифмом должно быть положительным, так как логарифм определён только для положительных аргументов.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Рассмотрим каждое из этих условий более подробно.

1. Положительность выражения под логарифмом

Выражение под логарифмом (\frac{9-x^2}{x-2}) должно быть больше нуля: [ \frac{9-x^2}{x-2} > 0 ] Для решения этого неравенства найдем нули числителя и знаменателя:

• Числитель: (9-x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3).
• Знаменатель: (x-2 = 0 \Rightarrow x = 2).

Таким образом, критические точки — это (x = -3), (x = 3) и (x = 2).

2. Знак выражения

Теперь определим знак выражения (\frac{9-x^2}{x-2}) на интервалах, которые образуются критическими точками:

• Интервалы: ((-\infty, -3)), ((-3, 2)), ((2, 3)), ((3, \infty)).

Проверим знак на каждом из интервалов:

• На интервале ((-\infty, -3)), выберем тестовую точку (x = -4): [ \frac{9-(-4)^2}{-4-2} = \frac{9-16}{-6} = \frac{-7}{-6} > 0 ] Знак положительный.

• На интервале ((-3, 2)), выберем тестовую точку (x = 0): [ \frac{9-0^2}{0-2} = \frac{9}{-2} < 0 ] Знак отрицательный.

• На интервале ((2, 3)), выберем тестовую точку (x = 2.5): [ \frac{9-(2.5)^2}{2.5-2} = \frac{9-6.25}{0.5} = \frac{2.75}{0.5} > 0 ] Знак положительный.

• На интервале ((3, \infty)), выберем тестовую точку (x = 4): [ \frac{9-4^2}{4-2} = \frac{9-16}{2} = \frac{-7}{2} < 0 ] Знак отрицательный.

3. Исключение точек

Так как логарифм не определён при значении подлогарифмического выражения, равном нулю, а деление на ноль невозможно, исключаем (x = 2), где знаменатель обращается в ноль.

Заключение

Область определения функции ( f(x) = \log_4 \left( \frac{9-x^2}{x-2} \right) ) — это объединение интервалов, где выражение положительно: [ x \in (-\infty, -3) \cup (2, 3) ]

Для того чтобы найти область определения функции f(x) = log₄((9-x²)/(x-2)), необходимо учитывать ограничения, связанные с логарифмом и дробью.

1. Ограничения, связанные с логарифмом: В данном случае мы имеем логарифм по основанию 4. Логарифм от аргумента должен быть положительным, то есть (9 - x²)/(x - 2) > 0. Решим это неравенство:

9 - x² > 0 x² < 9 -3 < x < 3

1. Ограничения, связанные с знаменателем дроби: Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть x ≠ 2.

Таким образом, область определения функции f(x) = log₄((9-x²)/(x-2)) будет: -3 < x < 2 или 2 < x < 3.

Для функции f(x)=log₄((9-x²)/(x-2)) область определения определяется так:

1. Знаменатель в логарифме должен быть больше 0.
2. Аргумент логарифма должен быть больше 0.
3. x ≠ 2 (так как в знаменателе не может быть 0).

Ответ: D(f) = (-∞;2) U (2;3) U (3;∞)