Помогите пожалуйста!) Дана функция f(x)= -x^2-8x-12 всё это под корнем. Найти: а) область определения...

а) Область определения функции определяется условием того, что подкоренное выражение (в данном случае -x^2-8x-12) должно быть неотрицательным, то есть должно быть выполнено условие: -x^2-8x-12 ≥ 0. Для нахождения области определения функции нужно решить данное неравенство.

б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти ее производную. Для функции f(x)= -sqrt(-x^2-8x-12) производная будет равна f'(x) = (-2x-8) / (2 * sqrt(-x^2-8x-12)). Теперь нужно найти точки, где производная равна 0 или не существует, и анализировать знак производной на этих точках, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.

в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-5; -2], нужно найти значения функции в концах отрезка (-5 и -2) и в критических точках (точках, где производная равна 0 или не существует). После нахождения значений в этих точках, выбрать наибольшее и наименьшее из них.

Конечно, давайте разберем данную функцию ( f(x) = \sqrt{-x^2 - 8x - 12} ).

а) Область определения функции

Для функции, содержащей квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

[ -x^2 - 8x - 12 \geq 0 ]

Рассмотрим это неравенство. Сначала преобразуем его к более удобному виду:

[ -x^2 - 8x - 12 = -(x^2 + 8x + 12) ]

Теперь решим неравенство:

[ x^2 + 8x + 12 \leq 0 ]

Для этого найдем корни квадратного трёхчлена (x^2 + 8x + 12 = 0) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 4}{2} ]

[ x_1 = \frac{-8 + 4}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6 ]

Поскольку парабола (x^2 + 8x + 12) направлена вверх, она будет меньше или равна нулю на интервале между корнями. Таким образом, область определения функции:

[ [-6, -2] ]

б) Промежутки возрастания и убывания функции

Поскольку функция задана под корнем, она определена только на интервале ([-6, -2]). Для анализа возрастания и убывания достаточно рассмотреть производную функции в этом интервале.

Однако, заметим, что подкоренная функция (-x^2 - 8x - 12) является параболой, направленной вниз. Это значит, что функция достигает своего максимума в вершине параболы, которая находится посередине между корнями, а именно в точке:

[ x = \frac{-6 + (-2)}{2} = -4 ]

Таким образом, функция ( f(x) ) будет возрастать на отрезке ([-6, -4]) и убывать на отрезке ([-4, -2]).

в) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ([-5, -2])

Функция ( f(x) ) определена и непрерывна на отрезке ([-5, -2]), поэтому на этом отрезке она достигает своих экстремальных значений в критических точках и на концах отрезка.

Найдём значения функции в концах отрезка и в вершине параболы (если она попадает на отрезок):

1. ( x = -5 ):

[ f(-5) = \sqrt{-(-5)^2 - 8(-5) - 12} = \sqrt{-25 + 40 - 12} = \sqrt{3} ]

1. ( x = -4 ) (вершина параболы):

[ f(-4) = \sqrt{-(-4)^2 - 8(-4) - 12} = \sqrt{-16 + 32 - 12} = \sqrt{4} = 2 ]

1. ( x = -2 ):

[ f(-2) = \sqrt{-(-2)^2 - 8(-2) - 12} = \sqrt{-4 + 16 - 12} = 0 ]

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке ([-5, -2]) равно 2, а наименьшее — 0.