Помогите пожалуйста, надо найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=(х+1)^2 прямой у=1-х и ось...

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ох, необходимо найти точки их пересечения, затем вычислить интеграл от функции параболы до функции прямой в пределах пересечения.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = (x+1)^2 ), прямой ( y = 1-x ), и осью ( Ox ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых:

   Для этого приравняем уравнения параболы и прямой: [ (x+1)^2 = 1-x ] Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду: [ x^2 + 2x + 1 = 1 - x ] [ x^2 + 3x = 0 ] Вынесем ( x ) за скобки: [ x(x + 3) = 0 ] Таким образом, ( x = 0 ) и ( x = -3 ).

2. Проверим точки пересечения с осью ( Ox ):

   Для параболы ( y = (x+1)^2 ), ось ( Ox ) пересекается в точке, где ( y = 0 ): [ (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1 ]

3. Найти площадь между кривыми:

   Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность функций от одной точки пересечения до другой. В данном случае, необходимо рассмотреть два интервала: от ( x = -3 ) до ( x = -1 ) (где парабола выше прямой), и от ( x = -1 ) до ( x = 0 ) (где прямая выше оси ( Ox )).

   [ A = \int{-3}^{-1} ((x+1)^2 - (1-x)) \, dx + \int{-1}^{0} ((1-x) - 0) \, dx ]

   Для первого интеграла: [ \int{-3}^{-1} ((x+1)^2 - (1-x)) \, dx = \int{-3}^{-1} (x^2 + 2x + 1 - 1 + x) \, dx = \int_{-3}^{-1} (x^2 + 3x) \, dx ]

   Вычислим: [ \int (x^2 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{-3}^{-1} ] Подставим пределы: [ \left( \frac{(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2} \right) - \left( \frac{(-3)^3}{3} + \frac{3(-3)^2}{2} \right) ] [ = \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} \right) - \left( -9 + \frac{27}{2} \right) ] [ = \left( -\frac{1}{3} + \frac{9}{6} \right) - \left( -9 + 13.5 \right) ] [ = \left( \frac{7}{6} \right) - \left( 4.5 \right) = \frac{7}{6} - \frac{27}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3} ]

   Для второго интеграла: [ \int{-1}^{0} (1-x) \, dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]{-1}^{0} ] Подставим пределы: [ \left( 0 - 0 \right) - \left( -1 - \frac{1}{2} \right) ] [ = 0 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} ]

   Общая площадь: [ A = \left| -\frac{10}{3} \right| + \frac{3}{2} = \frac{10}{3} + \frac{3}{2} ]

   Приведем к общему знаменателю: [ = \frac{20}{6} + \frac{9}{6} = \frac{29}{6} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью ( Ox ), равна (\frac{29}{6}).

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой у=(х+1)^2, прямой у=1-х и осью Ox, необходимо сначала определить точки их пересечения.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем уравнения параболы и прямой: (х+1)^2 = 1-х Раскроем скобки и приведем подобные члены: х^2 + 2х + 1 = 1 - х х^2 + 3х = 0 х(x + 3) = 0 Отсюда получаем, что х = 0 или х = -3.

2. Теперь определим точки пересечения параболы и оси Ox: Для этого подставим у=0 в уравнение параболы: (х+1)^2 = 0 Отсюда получаем, что х = -1.

Таким образом, фигура ограничена параболой у=(х+1)^2, прямой у=1-х, осью Ox и точками пересечения: (-3, 0), (-1, 0) и (0, 1).

1. Теперь нужно найти площадь фигуры. Для этого можно воспользоваться методом интегрирования. Площадь фигуры можно выразить как интеграл от функции параболы до функции прямой: ∫[(х+1)^2 - (1-х)] dx от -3 до -1

Вычислив данный интеграл, получим площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ox.