Помогите пожалуйста Найти область определения функции: y=1/корень из cos x

Чтобы найти область определения функции ( y = \frac{1}{\sqrt{\cos x}} ), нужно учитывать несколько важных моментов:

1. Корень из числа: Подкоренное выражение (то есть (\cos x)) должно быть неотрицательным, потому что нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Это означает, что (\cos x \geq 0).

2. Знаменатель: Знаменатель не должен быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено. Это означает, что (\sqrt{\cos x} \neq 0), или (\cos x \neq 0).

Таким образом, для функции ( y = \frac{1}{\sqrt{\cos x}} ) должны выполняться два условия: [ \cos x > 0. ]

Теперь рассмотрим, когда (\cos x) положителен. Косинус функции принимает положительные значения в интервалах: [ 2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{\pi}{2}, ] где ( k ) — любое целое число. Это можно переписать как: [ -\frac{\pi}{2} < x - 2k\pi < \frac{\pi}{2}. ]

То есть, (\cos x > 0) на интервалах, которые соответствуют углам, где косинус положителен. Эти интервалы находятся между (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi) и (\frac{\pi}{2} + 2k\pi).

Таким образом, область определения функции ( y = \frac{1}{\sqrt{\cos x}} ) — это объединение всех таких интервалов: [ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}\right). ]

Это можно записать в виде множества: [ \text{D}(y) = { x \in \mathbb{R} \mid 2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} }. ]

Пример: для ( k = 0 ), область определения будет (-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}), для ( k = 1 ), область определения будет (\frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{2}), и так далее.

Таким образом, функция ( y = \frac{1}{\sqrt{\cos x}} ) определена на всех интервалах, где косинус положителен, за исключением точек, где косинус равен нулю.

Для того чтобы найти область определения функции y=1/корень из cos(x), необходимо учитывать, что под знаком корня не может быть отрицательного числа или нуля, так как иначе функция будет неопределена.

Таким образом, область определения данной функции состоит из всех значений аргумента x, для которых cos(x) не равен нулю и cos(x) положителен. Поскольку косинус имеет период 2π, то область определения функции можно записать следующим образом: x ∈ R, x ≠ (π/2 + πk), где k - целое число.

Таким образом, областью определения функции y=1/корень из cos(x) является множество всех вещественных чисел x, за исключением точек, где cos(x) равен нулю.