Помогите пожалуйста по алгебре 2 ctgx - 3 tgx + 5 = 0

Давайте разберем уравнение (2 \cdot \cot(x) - 3 \cdot \tan(x) + 5 = 0).

Для начала вспомним, что (\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}). Подставим это в уравнение:

[ 2 \cdot \frac{1}{\tan(x)} - 3 \cdot \tan(x) + 5 = 0 ]

Обозначим (\tan(x) = t). Тогда (\cot(x) = \frac{1}{t}), и уравнение принимает вид:

[ 2 \cdot \frac{1}{t} - 3t + 5 = 0 ]

Для удобства избавимся от дроби, умножив всё уравнение на (t) (предполагая, что (t \neq 0)):

[ 2 - 3t^2 + 5t = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

[ -3t^2 + 5t + 2 = 0 ]

Умножим всё уравнение на (-1) для удобства:

[ 3t^2 - 5t - 2 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение (3t^2 - 5t - 2 = 0) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

где (a = 3), (b = -5), (c = -2).

Посчитаем дискриминант:

[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим наши значения:

[ t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} ]

[ t_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{6} ]

Найдём корни:

1. (t_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2)
2. (t_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3})

Теперь вернёмся к переменной (x), зная, что (t = \tan(x)):

1. (\tan(x) = 2)
2. (\tan(x) = -\frac{1}{3})

Теперь решим уравнения (\tan(x) = 2) и (\tan(x) = -\frac{1}{3}).

Общее решение уравнения (\tan(x) = a) имеет вид:

[ x = \arctan(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Для (\tan(x) = 2):

[ x = \arctan(2) + \pi n ]

Для (\tan(x) = -\frac{1}{3}):

[ x = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n ]

Это даёт нам два множества решений для (x), которые зависят от параметра (n), принимающего любые целые значения.

Для решения уравнения 2ctg(x) - 3tg(x) + 5 = 0 преобразуем выражения ctg(x) и tg(x) через синус и косинус. Имеем:

ctg(x) = cos(x) / sin(x) tg(x) = sin(x) / cos(x)

Подставим это в исходное уравнение:

2(cos(x) / sin(x)) - 3(sin(x) / cos(x)) + 5 = 0

Умножим все слагаемые на sin(x)cos(x), чтобы избавиться от знаменателей:

2cos^2(x) - 3sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) = 0

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

2(1 - sin^2(x)) - 3sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) = 0 2 - 2sin^2(x) - 3sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) = 0 2 - 5sin^2(x) + 5sin(x)cos(x) = 0 5sin(x)(cos(x) - sin(x)) = -2

Таким образом, уравнение приводится к виду 5sin(x)(cos(x) - sin(x)) = -2. Далее можно решить это уравнение численными методами или графически.