Помогите пожалуйста решить систему уравнений : 2x^2-y^2=34 и xy=20 (заранее спасибо )

Для решения данной системы уравнений необходимо рассматривать оба уравнения совместно:

1. ( 2x^2 - y^2 = 34 )
2. ( xy = 20 )

Мы можем воспользоваться методом подстановки или исключения переменных. Давайте используем метод подстановки.

Из второго уравнения выразим ( y ) через ( x ):

[ y = \frac{20}{x} ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ 2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34 ]

Упростим это уравнение:

[ 2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34 ]

Теперь приведём уравнение к общему знаменателю:

[ 2x^4 - 34x^2 - 400 = 0 ]

Это уравнение является биквадратным, и мы можем сделать замену: ( z = x^2 ). Тогда уравнение станет:

[ 2z^2 - 34z - 400 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Сначала найдём дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-400) ]

[ D = 1156 + 3200 = 4356 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:

[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm \sqrt{4356}}{4} ]

Рассчитаем корни:

[ \sqrt{4356} = 66 ]

[ z_1 = \frac{34 + 66}{4} = \frac{100}{4} = 25 ]

[ z_2 = \frac{34 - 66}{4} = \frac{-32}{4} = -8 ]

Поскольку ( z = x^2 ), значение ( z ) должно быть неотрицательным. Таким образом, ( z_2 = -8 ) не подходит, и остаётся ( z = 25 ).

Теперь вернёмся к переменной ( x ):

[ x^2 = 25 ]

Отсюда:

[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5 ]

Теперь найдём соответствующие значения ( y ) для каждого из ( x ).

1. Если ( x = 5 ):

[ y = \frac{20}{x} = \frac{20}{5} = 4 ]

Таким образом, одна пара решений: ( (x, y) = (5, 4) ).

1. Если ( x = -5 ):

[ y = \frac{20}{x} = \frac{20}{-5} = -4 ]

Таким образом, вторая пара решений: ( (x, y) = (-5, -4) ).

Итак, система уравнений имеет два решения: ( (x, y) = (5, 4) ) и ( (x, y) = (-5, -4) ).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. Сначала выразим y из второго уравнения: y = 20/x. Затем подставим это выражение в первое уравнение:

2x^2 - (20/x)^2 = 34 2x^2 - 400/x^2 = 34 2x^4 - 400 = 34x^2 2x^4 - 34x^2 - 400 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной x. Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-34)^2 - 42(-400) = 1156 + 3200 = 4356 x1,2 = (34 +- sqrt(4356))/(2*2) = (34 +- 66) / 4

x1 = (34 + 66) / 4 = 25 x2 = (34 - 66) / 4 = -8

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в уравнение xy = 20:

y1 = 20 / 25 = 0.8 y2 = 20 / (-8) = -2.5

Итак, получаем два набора решений: (x1, y1) = (25, 0.8) и (x2, y2) = (-8, -2.5).