ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Решить систему: x^2+y^4=20 x^4+y^2=20

Для решения данной системы уравнений: $x^2+y^4=20$ $x^4+y^2=20$

начнем с анализа возможных значений $x$ и $y$. Поскольку оба уравнения симметричны относительно $x$ и $y$, мы можем предположить, что решения будут иметь симметричные характеристики.

1. Проверим случай, когда $x=y$: Подставим $y=x$ в каждое уравнение: $x^2+x^4=20$ $x^4+x^2=20$

   Оба уравнения сводятся к одному: $x^4+x^2=20$

   Решим это уравнение: $x^4+x^2-20=0$ Замена $z=x^2$ приводит к квадратному уравнению: $z^2+z-20=0$ Решим его: $z=\frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{2}=\frac{-1\pm 9}{2}$ Получаем $z_1=4$ и $z_2=-5$. Поскольку $z=x^2$ и должно быть неотрицательным, выбираем $z=4$. Отсюда $x^2=4$, $x=\pm 2$. Так как $y=x$, то $y=\pm 2$.

   Таким образом, одно из решений системы: $(x,y$ = $2,2$, $-2,-2$ ).

2. Рассмотрим случай, когда $x\ne y$: Заметим, что если одно из чисел, скажем $x$, равно нулю, то второе уравнение превращается в $y^2=20$, что дает $y=\pm \sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5}$, но тогда первое уравнение не выполняется, так как $0+(\pm 2\sqrt{5}$^4 \neq 20 ).

   Поэтому, если $x\ne y$, то оба $x$ и $y$ должны быть ненулевыми. Подставим, например, $x=2$ и $y=-2$, и наоборот, и проверим, выполняются ли уравнения: $(2{)}^2+(-2{)}^4=4+16=20$ $(2{)}^4+(-2{)}^2=16+4=20$

   Это дает дополнительные решения: $(x,y$ = $2,-2$, $-2,2$ ).

Таким образом, решениями системы являются: $(x,y)=(2,2),(-2,-2),(2,-2),(-2,2)$

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

1. Первое уравнение: x^2 + y^4 = 20
2. Второе уравнение: x^4 + y^2 = 20

Для начала рассмотрим первое уравнение: x^2 + y^4 = 20 Попробуем выразить x через y или наоборот. Так как у нас есть квадраты и четвертые степени, подойдет подстановка y^2 = t. Тогда x^2 + t^2 = 20. Получаем квадратное уравнение относительно x: x^2 = 20 - t^2.

Теперь подставим x^2 во второе уравнение: $20-t^2$^2 + t^2 = 20 400 - 40t^2 + t^4 + t^2 = 20 t^4 - 39t^2 + 380 = 0

Решим это уравнение. Получим два решения: t1 ≈ 9.57 и t2 ≈ 29.43.

Теперь зная t, найдем x и y:

1. Для t1 ≈ 9.57: x^2 = 20 - 9.57 ≈ 10.43 => x ≈ ±3.23 y^2 = 9.57 => y ≈ ±3.09

2. Для t2 ≈ 29.43: x^2 = 20 - 29.43 ≈ -9.43 - нет решения в действительных числах y^2 = 29.43 => y ≈ ±5.43

Итак, система имеет два решения:

1. x ≈ 3.23, y ≈ 3.09
2. x ≈ -3.23, y ≈ -3.09