ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Решить систему: x^2+y^4=20 x^4+y^2=20

Для решения данной системы уравнений: [ x^2 + y^4 = 20 ] [ x^4 + y^2 = 20 ]

начнем с анализа возможных значений ( x ) и ( y ). Поскольку оба уравнения симметричны относительно ( x ) и ( y ), мы можем предположить, что решения будут иметь симметричные характеристики.

1. Проверим случай, когда ( x = y ): Подставим ( y = x ) в каждое уравнение: [ x^2 + x^4 = 20 ] [ x^4 + x^2 = 20 ]

   Оба уравнения сводятся к одному: [ x^4 + x^2 = 20 ]

   Решим это уравнение: [ x^4 + x^2 - 20 = 0 ] Замена ( z = x^2 ) приводит к квадратному уравнению: [ z^2 + z - 20 = 0 ] Решим его: [ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} ] Получаем ( z_1 = 4 ) и ( z_2 = -5 ). Поскольку ( z = x^2 ) и должно быть неотрицательным, выбираем ( z = 4 ). Отсюда ( x^2 = 4 ), ( x = \pm 2 ). Так как ( y = x ), то ( y = \pm 2 ).

   Таким образом, одно из решений системы: ( (x, y) = (2, 2), (-2, -2) ).

2. Рассмотрим случай, когда ( x \neq y ): Заметим, что если одно из чисел, скажем ( x ), равно нулю, то второе уравнение превращается в ( y^2 = 20 ), что дает ( y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} ), но тогда первое уравнение не выполняется, так как ( 0 + (\pm 2\sqrt{5})^4 \neq 20 ).

   Поэтому, если ( x \neq y ), то оба ( x ) и ( y ) должны быть ненулевыми. Подставим, например, ( x = 2 ) и ( y = -2 ), и наоборот, и проверим, выполняются ли уравнения: [ (2)^2 + (-2)^4 = 4 + 16 = 20 ] [ (2)^4 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20 ]

   Это дает дополнительные решения: ( (x, y) = (2, -2), (-2, 2) ).

Таким образом, решениями системы являются: [ (x, y) = (2, 2), (-2, -2), (2, -2), (-2, 2) ]

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

1. Первое уравнение: x^2 + y^4 = 20
2. Второе уравнение: x^4 + y^2 = 20

Для начала рассмотрим первое уравнение: x^2 + y^4 = 20 Попробуем выразить x через y или наоборот. Так как у нас есть квадраты и четвертые степени, подойдет подстановка y^2 = t. Тогда x^2 + t^2 = 20. Получаем квадратное уравнение относительно x: x^2 = 20 - t^2.

Теперь подставим x^2 во второе уравнение: (20 - t^2)^2 + t^2 = 20 400 - 40t^2 + t^4 + t^2 = 20 t^4 - 39t^2 + 380 = 0

Решим это уравнение. Получим два решения: t1 ≈ 9.57 и t2 ≈ 29.43.

Теперь зная t, найдем x и y:

1. Для t1 ≈ 9.57: x^2 = 20 - 9.57 ≈ 10.43 => x ≈ ±3.23 y^2 = 9.57 => y ≈ ±3.09

2. Для t2 ≈ 29.43: x^2 = 20 - 29.43 ≈ -9.43 - нет решения в действительных числах y^2 = 29.43 => y ≈ ±5.43

Итак, система имеет два решения:

1. x ≈ 3.23, y ≈ 3.09
2. x ≈ -3.23, y ≈ -3.09