Помогите пожалуйста решить систему:{х2-у2=24 {х-2у=7

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод выражения одной переменной через другую.

Шаг 1: Выразим ( x ) из второго уравнения

Из уравнения ( x - 2y = 7 ) выразим ( x ): [ x = 2y + 7 ]

Шаг 2: Подставим выражение для ( x ) в первое уравнение

Подставим ( x = 2y + 7 ) в уравнение ( x^2 - y^2 = 24 ): [ (2y + 7)^2 - y^2 = 24 ]

Раскроем квадрат в левой части уравнения: [ 4y^2 + 28y + 49 - y^2 = 24 ] [ 3y^2 + 28y + 25 = 0 ]

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение

Решим квадратное уравнение ( 3y^2 + 28y + 25 = 0 ) через дискриминант. Для этого найдем дискриминант ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 3 \cdot 25 = 784 - 300 = 484 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня: [ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + 22}{6} = \frac{-6}{6} = -1 ] [ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - 22}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3} ]

Шаг 4: Найдем соответствующие значения ( x )

Теперь подставим найденные значения ( y ) обратно в выражение для ( x ):

1. Для ( y_1 = -1 ): [ x_1 = 2(-1) + 7 = 5 ]
2. Для ( y_2 = -\frac{25}{3} ): [ x_2 = 2\left(-\frac{25}{3}\right) + 7 = -\frac{50}{3} + 7 = -\frac{50}{3} + \frac{21}{3} = -\frac{29}{3} ]

Ответ

Система имеет следующие решения: [ (x_1, y_1) = (5, -1) ] [ (x_2, y_2) = \left(-\frac{29}{3}, -\frac{25}{3}\right) ]

Для решения данной системы уравнений необходимо использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания.

1. Метод подстановки: Из второго уравнения выразим х: х = 7 + 2у

Подставим это значение в первое уравнение: (7 + 2у)^2 - у^2 = 24 49 + 28у + 4у^2 - у^2 = 24 4у^2 + 28у + 49 - у^2 = 24 3у^2 + 28у + 25 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. После нахождения у, найдем соответствующие значения х.

1. Метод сложения/вычитания: Перепишем второе уравнение в виде: х = 7 + 2у

Подставим это значение в первое уравнение: (7 + 2у)^2 - у^2 = 24 49 + 28у + 4у^2 - у^2 = 24 4у^2 + 28у + 49 - у^2 = 24 3у^2 + 28у + 25 = 0

Таким образом, оба метода приводят к одному и тому же квадратному уравнению, которое можно решить для нахождения значений у и соответствующих им значений х.