Помогите пожалуйста срочно решить sinX = -1/2

Чтобы решить уравнение (\sin X = -\frac{1}{2}), нам нужно определить, в каких углах (или радианах) синус принимает значение (-\frac{1}{2}).

1. Определяем квадранты: Синус функции отрицателен в третьем и четвертом квадрантах. Это значит, что нам нужно искать углы в этих квадрантах.

2. Основное значение: Сначала найдем основное значение, при котором (\sin X = \frac{1}{2}). Это происходит при угле (X = \frac{\pi}{6}) (или 30 градусов).

3. Получаем углы для (-\frac{1}{2}):

   • В третьем квадранте: [ X = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} ]
   • В четвёртом квадранте: [ X = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} ]

4. Общие решения: Поскольку синус — периодическая функция с периодом (2\pi), можно записать общее решение:

   • Для третьего квадранта: [ X = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]
   • Для четвёртого квадранта: [ X = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, решение уравнения (\sin X = -\frac{1}{2}) можно выразить как: [ X = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad X = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Эти два выражения дают все углы, для которых синус равен (-\frac{1}{2}).

Рассмотрим уравнение:

[ \sin X = -\frac{1}{2}. ]

Решим его шаг за шагом.

1. Основное свойство синуса

Синус принимает значение (-\frac{1}{2}) в тех точках, где угол (X) соответствует углам на тригонометрической окружности, где синус отрицателен. Напомним, что синус отрицателен во III и IV четвертях тригонометрической окружности.

2. Основной угол

Нужно найти угол, при котором (\sin X = \frac{1}{2}) (без учета знака). Смотрим на табличные значения тригонометрических функций.

[ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}. ]

Таким образом, основной угол (X_0 = \frac{\pi}{6}).

3. Учет знака

Теперь учтем, что синус отрицателен (т.е. (-\frac{1}{2})) в III и IV четвертях. Для определения решений используем формулы:

• В III четверти: (X = \pi + X_0),
• В IV четверти: (X = 2\pi - X_0).

Подставляем (X_0 = \frac{\pi}{6}):

• В III четверти: (X = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}),
• В IV четверти: (X = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}).

4. Общее решение

Синус — периодическая функция с периодом (2\pi). Поэтому общее решение уравнения можно записать в виде:

[ X = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad X = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Ответ

Общее решение уравнения (\sin X = -\frac{1}{2}):

[ X = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad X = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]