ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА,составить уравнение касательной F(x)=cos(x/3),Xо=0

Чтобы найти уравнение касательной к функции ( F(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ) в точке ( X_0 = 0 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке ( X_0 = 0 ): [ F(0) = \cos\left(\frac{0}{3}\right) = \cos(0) = 1. ]

2. Найти производную функции ( F(x) ): [ F'(x) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right). ]

3. Найти значение производной в точке ( X_0 = 0 ): [ F'(0) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0. ]

4. Теперь уравнение касательной имеет вид: [ y - F(0) = F'(0)(x - X_0). ] Подставляя найденные значения: [ y - 1 = 0 \cdot (x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = 1. ]

Таким образом, уравнение касательной в точке ( X_0 = 0 ) равно: [ y = 1. ]

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции ( F(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ) в точке ( X_0 = 0 ), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти значение функции в точке ( X_0 = 0 ): [ F(0) = \cos\left(\frac{0}{3}\right) = \cos(0) = 1. ]

2. Найти производную функции ( F(x) ): Чтобы найти производную, воспользуемся правилом дифференцирования. Производная функции ( \cos(u) ) равна ( -\sin(u) ) умноженная на производную внутренней функции ( u(x) = \frac{x}{3} ): [ F'(x) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right). ]

3. Вычислить производную в точке ( X_0 = 0 ): [ F'(0) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\frac{1}{3} \sin(0) = 0. ]

4. Составить уравнение касательной: Уравнение касательной линии к функции в точке ( (X_0, F(X_0)) ) имеет вид: [ y - F(X_0) = F'(X_0)(x - X_0). ] Подставим найденные значения: [ y - 1 = 0 \cdot (x - 0). ] Это упрощается до: [ y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( F(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right) ) в точке ( X_0 = 0 ) — это горизонтальная прямая: [ y = 1. ]

Для составления уравнения касательной к графику функции в точке (x_0) нужно применить следующую формулу:

[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), ]

где:

• (f(x)) — исходная функция,
• (f'(x)) — производная функции (f(x)),
• (x_0) — заданная точка, в которой ищется уравнение касательной.

Давайте разберем решение по шагам для функции (f(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)) при (x_0 = 0).

Шаг 1. Вычислим значение функции в точке (x_0 = 0):

Подставляем (x_0 = 0) в (f(x)): [ f(0) = \cos\left(\frac{0}{3}\right) = \cos(0) = 1. ]

Таким образом, значение функции в точке (x_0 = 0) равно 1.

Шаг 2. Найдем производную функции (f(x)):

Для функции (f(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)) применим правило дифференцирования сложной функции: [ f'(x) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}. ]

Следовательно: [ f'(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3}\right). ]

Шаг 3. Вычислим производную в точке (x_0 = 0):

Подставляем (x_0 = 0) в (f'(x)): [ f'(0) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{0}{3}\right) = -\frac{1}{3} \sin(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0. ]

Таким образом, производная в точке (x_0 = 0) равна 0.

Шаг 4. Запишем уравнение касательной:

Формула уравнения касательной: [ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0). ]

Подставляем найденные значения:

• (f(x_0) = 1),
• (f'(x_0) = 0),
• (x_0 = 0).

Получаем: [ y = 1 + 0 \cdot (x - 0), ] или просто: [ y = 1. ]

Итог:

Уравнение касательной к графику функции (f(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)) в точке (x_0 = 0) — это горизонтальная прямая: [ y = 1. ]