Помогите преобразовать в произведение sin80-sin10

Для преобразования выражения ( \sin(80^\circ) - \sin(10^\circ) ) воспользуемся формулой разности синусов. Формула разности синусов гласит:

[ \sin A - \sin B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A - B}{2} \right) ]

В нашем случае ( A = 80^\circ ) и ( B = 10^\circ ). Теперь подставим эти значения в формулу.

1. Вычислим ( A + B ) и ( A - B ):

[ A + B = 80^\circ + 10^\circ = 90^\circ ]

[ A - B = 80^\circ - 10^\circ = 70^\circ ]

1. Теперь подставим полученные значения в формулу:

[ \sin(80^\circ) - \sin(10^\circ) = 2 \cdot \cos\left( \frac{90^\circ}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{70^\circ}{2} \right) ]

1. Упростим выражение:

[ = 2 \cdot \cos(45^\circ) \cdot \sin(35^\circ) ]

1. Зная, что ( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставим это значение:

[ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin(35^\circ) ]

1. Упростим:

[ = \sqrt{2} \cdot \sin(35^\circ) ]

Таким образом, выражение ( \sin(80^\circ) - \sin(10^\circ) ) можно преобразовать в произведение:

[ \sin(80^\circ) - \sin(10^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sin(35^\circ) ]

Выражение ( \sin 80^\circ - \sin 10^\circ ) можно преобразовать с помощью формулы разности синусов:

[ \sin a - \sin b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \sin\left(\frac{a-b}{2}\right) ]

Применяя эту формулу, получаем:

[ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = 2 \cos\left(\frac{80^\circ + 10^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{80^\circ - 10^\circ}{2}\right) ]

Это упростится до:

[ 2 \cos(45^\circ) \sin(35^\circ) ]

Так как ( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ), окончательный результат будет:

[ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = \sqrt{2} \sin(35^\circ) ]

Для преобразования выражения ( \sin 80^\circ - \sin 10^\circ ) в произведение воспользуемся известной тригонометрической формулой разности синусов:

[ \sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right). ]

Здесь:

• ( A = 80^\circ ),
• ( B = 10^\circ ).

Теперь подставим значения ( A ) и ( B ) в формулу.

1. Сначала вычислим ( \frac{A + B}{2} ): [ \frac{A + B}{2} = \frac{80^\circ + 10^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. ]

2. Далее найдем ( \frac{A - B}{2} ): [ \frac{A - B}{2} = \frac{80^\circ - 10^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ. ]

Теперь подставим всё в формулу: [ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = 2 \cos\left(45^\circ\right) \sin\left(35^\circ\right). ]

1. Значение ( \cos 45^\circ ) известно: ( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Подставляем это значение: [ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\left(35^\circ\right). ]

1. Упростим выражение: [ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin\left(35^\circ\right). ]

Таким образом, преобразованное выражение имеет вид: [ \sin 80^\circ - \sin 10^\circ = \sqrt{2} \cdot \sin\left(35^\circ\right). ]

Это окончательный результат.