Помогите решить неравенство полный ответ x^2(3x - 2)(x - 8) < 0

Чтобы решить неравенство (x^2(3x - 2)(x - 8) < 0), необходимо рассмотреть знак произведения трех множителей: (x^2), (3x - 2) и (x - 8).

Шаг 1: Найдите нули каждого множителя

1. (x^2 = 0):
   Это уравнение имеет один корень: (x = 0).

2. (3x - 2 = 0):
   Решим относительно (x): [ 3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3} ]

3. (x - 8 = 0):
   Это уравнение имеет один корень: (x = 8).

Шаг 2: Определите интервалы, определяемые корнями

Корни разбивают числовую ось на интервалы: ((-\infty, 0)), ( (0, \frac{2}{3})), ((\frac{2}{3}, 8)), и ((8, \infty)).

Шаг 3: Определите знак произведения на каждом интервале

Для проверки знака на каждом из интервалов, можно использовать тестовые точки:

1. Интервал ((-∞, 0)):
   Выберем (x = -1): [ x^2 = 1, \quad 3x - 2 = -5, \quad x - 8 = -9 \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot (-5) \cdot (-9) = 45 > 0 ]

2. Интервал ((0, \frac{2}{3})):
   Выберем (x = \frac{1}{2}): [ x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \quad 3x - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}, \quad x - 8 = \frac{1}{2} - 8 = -\frac{15}{2} ] [ \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{15}{2}\right) = \frac{15}{16} > 0 ]

3. Интервал ((\frac{2}{3}, 8)):
   Выберем (x = 1): [ x^2 = 1, \quad 3x - 2 = 1, \quad x - 8 = -7 \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot 1 \cdot (-7) = -7 < 0 ]

4. Интервал ((8, \infty)):
   Выберем (x = 9): [ x^2 = 81, \quad 3x - 2 = 25, \quad x - 8 = 1 \quad \Rightarrow \quad 81 \cdot 25 \cdot 1 = 2025 > 0 ]

Шаг 4: Запишите ответ

Неравенство (x^2(3x - 2)(x - 8) < 0) выполняется на интервале ((\frac{2}{3}, 8)).

Таким образом, решением неравенства является: [ x \in \left(\frac{2}{3}, 8\right) ]

1. Найдем корни уравнения: x=0, x=2/3, x=8.
2. Проведем интервалы (-бесконечность;0), (0;2/3), (2/3;8), (8;+бесконечность).
3. Подставим в каждый интервал тестовую точку (например, -1, 1/2, 3, 9) и определим знак выражения.
4. Получим, что искомое неравенство выполняется на интервалах (-бесконечность;0) и (2/3;8).
5. Ответ: x принадлежит интервалу (-бесконечность;0) и (2/3;8).

Для решения данного неравенства необходимо применить метод интервалов знакопостоянства.

1. Найдем точки разрыва функции, которые соответствуют нулям многочлена в левой части неравенства: x = 0, x = 2/3 и x = 8.

2. Построим знаки многочлена на каждом из интервалов, образованных точками разрыва: (-∞, 0), (0, 2/3), (2/3, 8) и (8, +∞).

3. Для этого возьмем произвольную точку из каждого интервала и подставим ее в исходное неравенство, чтобы определить знак многочлена на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1: (-)(-)(-) < 0, что означает, что многочлен отрицателен на этом интервале.
• Для интервала (0, 2/3) возьмем x = 1/2: (+)(-)(-) < 0, что означает, что многочлен отрицателен на этом интервале.
• Для интервала (2/3, 8) возьмем x = 1: (+)(+)(-) < 0, что означает, что многочлен отрицателен на этом интервале.
• Для интервала (8, +∞) возьмем x = 9: (+)(+)(+) > 0, что означает, что многочлен положителен на этом интервале.

Таким образом, решением неравенства x^2(3x - 2)(x - 8) < 0 является интервал (-∞, 0) объединенный с интервалом (0, 2/3) и интервалом (2/3, 8).