Помогите решить пожалуйста(очень нужно) Докажите,что при всех действительных значениях переменных верно...

Для доказательства данного неравенства можно воспользоваться методом полного квадрата. Рассмотрим выражение 10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 как квадратный трехчлен от x и y.

Сначала преобразуем выражение:

10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 = (3x - y)^2 + 2(x - 1)^2 + 4

Теперь видно, что данное выражение представляет собой сумму трех неотрицательных квадратов, увеличенных на 4. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то их сумма также неотрицательна. Следовательно, исходное неравенство 10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0 выполнено для всех действительных значений переменных x и y.

Для того чтобы доказать, что неравенство (10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0) верно для всех действительных значений переменных (x) и (y), мы рассмотрим несколько шагов, включая анализ квадратичной формы и использование дискриминанта.

1. Анализ квадратичной формы: Квадратичная форма (Ax^2 + Bxy + Cy^2) имеет вид (10x^2 - 6xy + y^2) в данном случае, где (A = 10), (B = -6), (C = 1).

2. Определение положительной определенности: Чтобы квадратичная форма была положительно определённой, её главные миноры должны быть положительными:

   • (A = 10 > 0)

   • Детеминант матрицы коэффициентов формы (Ax^2 + Bxy + Cy^2) должен быть положительным:

     [ \text{Детерминант} = \begin{vmatrix} 10 & -3 \ -3 & 1 \end{vmatrix} = 10 \cdot 1 - (-3) \cdot (-3) = 10 - 9 = 1 > 0 ]

   Оба условия выполняются, следовательно, квадратичная форма (10x^2 - 6xy + y^2) положительно определена.

3. Добавление линейных членов и постоянной: Теперь рассмотрим полный полином (10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6). Поскольку квадратичная часть положительно определена, она всегда положительна для всех значений (x) и (y).

4. Минимизация полинома: Определим, можно ли минимизировать данный полином. Для этого рассмотрим его как функцию двух переменных (f(x, y) = 10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6).

   Найдём частные производные и приравняем их к нулю:

   • (\frac{\partial f}{\partial x} = 20x - 6y - 4 = 0 \rightarrow 20x - 6y = 4)
   • (\frac{\partial f}{\partial y} = -6x + 2y = 0 \rightarrow -6x + 2y = 0 \rightarrow y = 3x)

   Подставим (y = 3x) в первое уравнение: [ 20x - 6(3x) = 4 \rightarrow 20x - 18x = 4 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 ] Тогда (y = 3x = 6).

5. Проверка значения функции в критической точке: Подставляем (x = 2) и (y = 6) в исходное выражение: [ f(2, 6) = 10(2)^2 - 6(2)(6) + (6)^2 - 4(2) + 6 = 40 - 72 + 36 - 8 + 6 = 2 ] Видим, что значение функции в этой точке равно 2.

6. Заключение: Поскольку квадратичная часть положительно определена, а значение функции в критической точке положительно (и минимально), то полином (10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6) всегда положителен для всех действительных значений (x) и (y).

Следовательно, неравенство (10x^2 - 6xy + y^2 - 4x + 6 > 0) действительно верно для всех действительных значений переменных (x) и (y).