Помогите решить) x-1=корень из x+11

Корень из x+11 равен 3. Решение уравнения: x - 1 = 3, x = 4.

Конечно, давайте решим уравнение ( x - 1 = \sqrt{x + 11} ).

1. Первый шаг: Избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   [ (x - 1)^2 = (\sqrt{x + 11})^2 ]

   Это упростится до:

   [ (x - 1)^2 = x + 11 ]

2. Второй шаг: Раскроем скобки слева:

   [ x^2 - 2x + 1 = x + 11 ]

3. Третий шаг: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

   [ x^2 - 2x + 1 - x - 11 = 0 ]

   [ x^2 - 3x - 10 = 0 ]

4. Четвертый шаг: Решим квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

   Формула для дискриминанта ( D ) квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) равна:

   [ D = b^2 - 4ac ]

   В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -10 ). Подставим значения:

   [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 ]

   Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

   Подставим значения:

   [ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} ]

   [ x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} ]

   Таким образом, получаем два корня:

   [ x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 ]

   [ x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 ]

5. Пятый шаг: Проверим корни на соответствие исходному уравнению, так как возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

   • Для ( x = 5 ):

     [ x - 1 = \sqrt{x + 11} ]

     [ 5 - 1 = \sqrt{5 + 11} ]

     [ 4 = \sqrt{16} ]

     [ 4 = 4 ]

     Это решение верно.

   • Для ( x = -2 ):

     [ x - 1 = \sqrt{x + 11} ]

     [ -2 - 1 = \sqrt{-2 + 11} ]

     [ -3 = \sqrt{9} ]

     [ -3 \neq 3 ]

     Это решение не верно.

Таким образом, единственным решением уравнения является ( x = 5 ).

Для решения данного уравнения нужно избавиться от корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

(x - 1)^2 = (корень из x + 11)^2 x^2 - 2x + 1 = x + 11 x^2 - 2x - x + 1 - 11 = 0 x^2 - 3x - 10 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-3)^2 - 41(-10) D = 9 + 40 D = 49

Так как дискриминант положителен, у уравнения два действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1 = (3 + √49) / 2 x1 = (3 + 7) / 2 x1 = 10 / 2 x1 = 5

x2 = (3 - √49) / 2 x2 = (3 - 7) / 2 x2 = -4 / 2 x2 = -2

Таким образом, уравнение x - 1 = корень из x + 11 имеет два корня: x1 = 5 и x2 = -2.