Помогите решить:а) решите уравнение sin2x=sin(x+3p/2)б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие...

Решение уравнения

а) Для начала упростим и решим уравнение: [ \sin 2x = \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) ]

Используем формулу приведения для правой части: [ \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x ] Теперь уравнение выглядит так: [ \sin 2x = -\cos x ]

Используем формулу двойного угла для синуса: [ 2\sin x \cos x = -\cos x ]

Рассмотрим два случая:

1. (\cos x = 0)
2. (2\sin x \cos x + \cos x = 0)

Кейс 1: (\cos x = 0)

(\cos x = 0) при (x = \frac{\pi}{2} + \pi k), где (k) - целое число. Подставим это в исходное уравнение: [ \sin 2x = \sin(\pi + 2\pi k) = 0 ] Это условие выполняется, так как (\sin) любого кратного (\pi) равен 0.

Кейс 2: (2\sin x \cos x + \cos x = 0)

Вынесем (\cos x) за скобки: [ \cos x (2\sin x + 1) = 0 ]

Первое условие (\cos x = 0) мы уже рассмотрели. Теперь рассмотрим: [ 2\sin x + 1 = 0 ] [ \sin x = -\frac{1}{2} ]

(\sin x = -\frac{1}{2}) при (x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k) или (x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k), где (k) - целое число.

Корни уравнения на отрезке ([ \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} ])

б) Найдем корни, принадлежащие данному отрезку:

1. Для (x = \frac{\pi}{2} + \pi k): [ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq \frac{7\pi}{2} ] Решая это, находим (k = 2, 3), что дает корни: [ x = \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} ]

2. Для (x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k) и (x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k): [ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2} ] [ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2} ] Решая каждое из этих уравнений, находим, что подходят следующие (k):

   • (k = 1) для обоих случаев, что дает корни: [ x = \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6} ]

Таким образом, все корни уравнения на заданном отрезке: [ x = \frac{5\pi}{2}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}, \frac{7\pi}{2} ]

а) Решим уравнение sin2x=sin(x+3π/2).

Преобразуем sin2x к виду sin2x=2sinxcosx: 2sinxcosx = sin(x+3π/2) 2sinxcosx = sinxcos3π/2 + cosxsin3π/2 2sinxcosx = sinx0 + cosx(-1) 2sinxcosx = -cosx

Теперь уравнение примет вид: -cosx = sinx

Разделим обе части уравнения на cosx (так как cosx ≠ 0, чтобы избежать деления на ноль):

-cosx/cosx = sinx/cosx -1 = tanx

Отсюда видно, что уравнение не имеет решений в обычных пределах, так как tanx не может принимать значение -1.

б) Так как уравнение не имеет решений в обычных пределах, корней на отрезке [5π/2;7π/2] нет.