ПОМОГИТЕ sin^3a+cos^3a/sina+cosa +sina*cosa

Давайте разберем выражение (\frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{\sin a + \cos a} + \sin a \cdot \cos a) и упростим его.

1. Упрощение первой части выражения:

   В числителе у нас (\sin^3 a + \cos^3 a). Это выражение можно разложить как сумму кубов:

   [ \sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a) ]

   Мы знаем, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1). Таким образом, числитель можно переписать как:

   [ (\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a) ]

   После этого подставим числитель в дробь:

   [ \frac{(\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a)}{\sin a + \cos a} ]

   Здесь (\sin a + \cos a) в числителе и знаменателе сокращаются, если (\sin a + \cos a \neq 0):

   [ 1 - \sin a \cos a ]

2. Вторая часть выражения:

   (\sin a \cdot \cos a) остаётся без изменений.

3. Объединение частей:

   Теперь сложим результаты первой и второй частей:

   [ 1 - \sin a \cos a + \sin a \cos a = 1 ]

Таким образом, выражение (\frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{\sin a + \cos a} + \sin a \cdot \cos a) при условии, что (\sin a + \cos a \neq 0), упрощается до 1.

Для решения данного выражения можно воспользоваться формулой куба суммы и разности.

Исходное выражение: (sin^3a + cos^3a) / (sin a + cos a) + sin a * cos a

Преобразуем числитель выражения, используя формулу куба суммы: sin^3a + cos^3a = (sin a + cos a)(sin^2a - sin a*cos a + cos^2a)

Подставляем полученное значение в исходное выражение: ((sin a + cos a)(sin^2a - sin acos a + cos^2a)) / (sin a + cos a) + sin a cos a

После упрощения, выражение примет вид: sin^2a - sin acos a + cos^2a + sin a cos a

Теперь можно раскрыть скобки и привести подобные члены: sin^2a + cos^2a - sin a * cos a

Так как sin^2a + cos^2a = 1, выражение упрощается до: 1 - sin a * cos a

Итак, результат выражения (sin^3a + cos^3a) / (sin a + cos a) + sin a cos a равен 1 - sin a cos a.