Помогите упростить выражения 1)sin^2a+cos^2a+tg^2b 2)tga/ctga(1-sin^2a)

1) Для упрощения выражения sin^2a + cos^2a + tg^2b используем тригонометрические тождества: sin^2a + cos^2a = 1 (тождество Пифагора для синуса и косинуса) tg^2b = sin^2b/cos^2b = (sin^2b + cos^2b)/cos^2b = 1/cos^2b

Теперь подставляем полученные значения: 1 + 1/cos^2b = (cos^2b + 1)/cos^2b = (1 + cos^2b)/cos^2b

Таким образом, упрощенным выражением для sin^2a + cos^2a + tg^2b будет (1 + cos^2b)/cos^2b.

2) Для упрощения выражения tg(a)/ctg(a)(1 - sin^2a) используем тригонометрические тождества: tg(a) = sin(a)/cos(a) ctg(a) = cos(a)/sin(a) sin^2a + cos^2a = 1 (тождество Пифагора)

Подставляем полученные значения: (sin(a)/cos(a)) / (cos(a)/sin(a)) (1 - sin^2a) = (sin(a)/cos(a)) / (cos(a)/sin(a)) cos^2a = sin(a) sin(a) / cos(a) cos(a) = sin^2a / cos^2a

Более упрощенным выражением для tg(a)/ctg(a)(1 - sin^2a) будет sin^2a / cos^2a.

Конечно! Давайте упростим каждое из данных выражений.

1) Выражение: ( \sin^2 a + \cos^2 a + \tan^2 b ).

Сначала вспомним тригонометрическую тождественность:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]

Таким образом, выражение можно упростить до:

[ 1 + \tan^2 b. ]

Теперь воспользуемся ещё одной тригонометрической тождественностью, связанной с тангенсом:

[ \tan^2 b = \sec^2 b - 1, ]

где ( \sec b = \frac{1}{\cos b} ).

Таким образом, выражение становится:

[ 1 + (\sec^2 b - 1) = \sec^2 b. ]

Итак, упрощённое выражение: ( \sec^2 b ).

2) Выражение: ( \frac{\tan a}{\cot a} (1 - \sin^2 a) ).

Начнем с упрощения дроби ( \frac{\tan a}{\cot a} ):

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \cot a = \frac{\cos a}{\sin a}. ]

Таким образом,

[ \frac{\tan a}{\cot a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a. ]

Теперь упростим вторую часть выражения: ( 1 - \sin^2 a ).

С использованием основного тригонометрического тождества:

[ 1 - \sin^2 a = \cos^2 a. ]

Теперь подставим упрощённые части обратно в выражение:

[ \tan^2 a \cdot \cos^2 a. ]

Воспользуемся определением тангенса:

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, ]

поэтому

[ \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}. ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \cos^2 a = \sin^2 a. ]

Итак, упрощённое выражение: ( \sin^2 a ).