Построить график функции у=2х^2+2х-4 1)При каких значениях х функция принимает отрицательные значения...

1) Функция у=2х^2+2х-4 принимает отрицательные значения, когда значение выражения 2х^2+2х-4 меньше нуля. Чтобы найти такие значения х, нужно решить неравенство 2х^2+2х-4

Рассмотрим функцию ( y = 2x^2 + 2x - 4 ). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Давайте разберём каждый из вопросов по очереди.

1) При каких значениях ( x ) функция принимает отрицательные значения?

Для нахождения промежутков, где функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство:

[ 2x^2 + 2x - 4 < 0. ]

Сначала найдём корни квадратного уравнения ( 2x^2 + 2x - 4 = 0 ) с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) равен:

[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 2 \times (-4) = 4 + 32 = 36. ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4}. ]

[ x_1 = \frac{-2 + 6}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{4} = -2. ]

Теперь определим знаки выражения на промежутках, которые задаются этими корнями: ((-∞, -2)), ((-2, 1)), ( (1, ∞) ).

• Для ( x < -2 ), например ( x = -3 ), подставляя в уравнение, получаем положительное значение.
• Для (-2 < x < 1), например ( x = 0 ), подставляя, получаем отрицательное значение.
• Для ( x > 1 ), например ( x = 2 ), подставляя, получаем положительное значение.

Таким образом, функция принимает отрицательные значения на интервале ((-2, 1)).

2) При каких значениях ( x ) функция возрастает?

Квадратичная функция ( y = 2x^2 + 2x - 4 ) имеет ветви, направленные вверх, так как старший коэффициент ( a = 2 ) положителен. Функция возрастает на интервале, где ( x ) больше вершины параболы.

Найдем вершину параболы. Координата вершины по ( x ) вычисляется по формуле:

[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 2} = -\frac{1}{2}. ]

Таким образом, функция возрастает на интервале ( \left(-\frac{1}{2}, +∞\right) ).

3) При каких значениях ( x ) функция принимает наибольшее значение и найти это значение?

Поскольку парабола направлена вверх, наибольшее значение функция не принимает (она стремится к +∞ при ( x \to ±∞ )). Однако, функция принимает наименьшее значение в вершине параболы.

Подставим ( x_v = -\frac{1}{2} ) в уравнение функции для нахождения значения ( y ) в вершине:

[ y_v = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 4. ]

[ y_v = 2 \times \frac{1}{4} - 1 - 4 = \frac{1}{2} - 1 - 4 = -\frac{9}{2}. ]

Таким образом, наименьшее значение функции равно (-\frac{9}{2}), и оно достигается при ( x = -\frac{1}{2} ).

1) Функция принимает отрицательные значения при значениях х от -бесконечности до -1 и от 1 до +бесконечности. 2) Функция возрастает при значениях х от -бесконечности до -1 и от 1 до +бесконечности. 3) Функция принимает наибольшее значение при х = -0.5, значение функции в этой точке равно -3.