Построить график функции у=2х^4 - х^2 + 1 ПОМОГИТЕ))))

Для построения графика функции ( y = 2x^4 - x^2 + 1 ) рассмотрим несколько аспектов: основные точки, поведение на бесконечности, производные для нахождения экстремумов и точек перегиба.

1. Основные точки и поведение на бесконечности:

• Точка пересечения с осью Y: подставим ( x = 0 ): [ y = 2 \cdot 0^4 - 0^2 + 1 = 1. ] Точка (0, 1) на графике.

• Поведение на бесконечности: поскольку старший коэффициент положительный и степень четыре, функция возрастает до бесконечности как при ( x \to \infty ), так и при ( x \to -\infty ).

2. Производная и критические точки:

• Первая производная: [ y' = 8x^3 - 2x. ] Приравняем к нулю для нахождения критических точек: [ 8x^3 - 2x = 0 \implies 2x(4x^2 - 1) = 0. ] Решения: ( x = 0, x = \frac{1}{2}, x = -\frac{1}{2} ).

• Вторая производная: [ y'' = 24x^2 - 2. ] Определяем знаки второй производной в критических точках для нахождения точек перегиба и вида экстремумов:

  • В ( x = 0 ): ( y''(0) = -2 ) (минимум).
  • В ( x = \frac{1}{2} ) и ( x = -\frac{1}{2} ): ( y''\left(\pm \frac{1}{2}\right) = 10 ) (максимумы).

3. Значения функции в критических точках:

• ( y(0) = 1 )
• ( y\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^4 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{7}{8} )
• ( y\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{8} )

4. Построение графика:

• Ветви графика уходят вверх при увеличении ( x ) в обе стороны от центральной оси.
• Ось симметрии - ось Y, поскольку функция четная.
• Точка (0, 1) — минимум, точки ( \left(\pm \frac{1}{2}, \frac{7}{8}\right) ) — максимумы.

Используя эти данные, можно нарисовать график функции, который будет иметь U-образную форму в центре и подниматься вверх по мере ухода x от нуля в любую сторону.

Для построения графика функции y=2x^4 - x^2 + 1 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить основные характеристики функции:

   • Функция является многочленом четвертой степени.
   • Коэффициент при x^4 равен 2, коэффициент при x^2 равен -1, свободный член равен 1.

2. Найти вершины параболы:

   • Вершина параболы определяется формулами x_v = -b/(2a) и y_v = f(x_v), где a и b - коэффициенты при x^2 и x, соответственно.
   • Для данной функции вершина параболы находится при x_v = 0 и y_v = 1.

3. Определить направление выпуклости:

   • Для данной функции, так как коэффициент при x^4 положительный, парабола направлена вверх.

4. Найти точки пересечения с осями координат:

   • Для определения точек пересечения с осью ординат решаем уравнение y = 0, получаем x^2(2x^2 - 1) = 0. Отсюда x = 0 и x = ±1/√2.
   • Точки пересечения с осью абсцисс отсутствуют.

5. Построить график функции:

   • Используя полученные характеристики, нарисовать параболу, проходящую через вершину и точки пересечения с осями координат.

Таким образом, график функции y=2x^4 - x^2 + 1 будет представлять собой параболу, направленную вверх, с вершиной в точке (0, 1) и пересечениями с осями координат в точках (0, 0), (1/√2, 0), (-1/√2, 0).