Построить график функции у=-3/х Найти 1)у(4) 2)значение х,при котором значение функции равно 15 3)Промежуток...

Чтобы построить график функции ( y = -\frac{3}{x} ), начнем с анализа её свойств.

1. Построение графика функции

Функция ( y = -\frac{3}{x} ) является гиперболой, которая имеет вертикальную асимптоту на оси ( y ) (в точке ( x = 0 )) и горизонтальную асимптоту на оси ( x ) (в точке ( y = 0 )).

Основные характеристики:

• При ( x > 0 ), ( y < 0 ) (функция принимает отрицательные значения).
• При ( x < 0 ), ( y > 0 ) (функция принимает положительные значения).
• При ( x \to 0^+ ), ( y \to -\infty ).
• При ( x \to 0^- ), ( y \to +\infty ).
• При ( x \to +\infty ), ( y \to 0^- ).
• При ( x \to -\infty ), ( y \to 0^+ ).

2. Найти ( y(4) )

Чтобы найти значение функции при ( x = 4 ):

[ y(4) = -\frac{3}{4} = -0.75 ]

3. Найти значение ( x ), при котором значение функции равно 15

Установим равенство:

[ y = 15 \Rightarrow 15 = -\frac{3}{x} ]

Умножим обе стороны на ( x ) (при условии, что ( x \neq 0 )):

[ 15x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5} ]

4. Промежуток, на котором функция принимает положительные значения

Функция ( y = -\frac{3}{x} ) положительна, когда ( x < 0 ). Таким образом, функция принимает положительные значения на промежутке:

[ (-\infty, 0) ]

5. Промежуток, на котором функция возрастает

Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает, проанализируем её производную.

Найдем производную функции:

[ y = -\frac{3}{x} \Rightarrow y' = \frac{3}{x^2} ]

Производная ( y' ) положительна, когда ( x ) отрицательно:

[ y' > 0 \text{ при } x < 0 ]

Таким образом, функция возрастает на промежутке:

[ (-\infty, 0) ]

Резюме

1. ( y(4) = -0.75 )
2. ( x = -\frac{1}{5} ) для ( y = 15 )
3. Функция принимает положительные значения на промежутке ( (-\infty, 0) )
4. Функция возрастает на промежутке ( (-\infty, 0) )

Рассмотрим функцию ( y = -\frac{3}{x} ). Это гипербола, которая имеет следующие свойства:

• Область определения: ( x \neq 0 ) (так как деление на ноль невозможно).
• Функция нечётная, так как ( y(-x) = -y(x) ).
• Ассимптоты: ( x = 0 ) (вертикальная асимптота) и ( y = 0 ) (горизонтальная асимптота).
• График расположен в двух квадрантах: II квадрант (при ( x < 0 )) и IV квадрант (при ( x > 0 )).

Теперь по порядку решим задачи:

1) Найти ( y(4) )

Подставляем ( x = 4 ) в уравнение функции ( y = -\frac{3}{x} ):

[ y(4) = -\frac{3}{4}. ]

Ответ: ( y(4) = -\frac{3}{4} ).

2) Найти значение ( x ), при котором ( y = 15 )

Исходное уравнение: ( y = -\frac{3}{x} ). Подставляем ( y = 15 ):

[ 15 = -\frac{3}{x}. ]

Умножим обе части уравнения на ( x ), чтобы избавиться от знаменателя (( x \neq 0 )):

[ 15x = -3. ]

Найдём ( x ):

[ x = -\frac{3}{15} = -\frac{1}{5}. ]

Ответ: ( x = -\frac{1}{5} ).

3) Промежуток, на котором функция принимает положительные значения

Функция ( y = -\frac{3}{x} ) положительна, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. У числителя знак всегда отрицательный (( -3 )), поэтому дробь будет положительной, если ( x < 0 ) (отрицательный знаменатель).

Таким образом, функция принимает положительные значения на промежутке:

[ x \in (-\infty; 0). ]

Ответ: ( (-\infty; 0) ).

4) Промежуток, на котором функция возрастает

Чтобы определить, где функция возрастает/убывает, рассмотрим знак производной.

Функция ( y = -\frac{3}{x} ). Найдём её производную:

[ y' = \frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{x}\right) = \frac{3}{x^2}. ]

Производная ( y' = \frac{3}{x^2} ) положительна на всей области определения (( x \neq 0 )), так как ( x^2 > 0 ) для любого ( x \neq 0 ). Это значит, что функция возрастает нигде, так как функции четко возрастает.