Построить график функции y=-x^3+4x^2-4x Помогите!)

Для построения графика функции y=-x^3+4x^2-4x нужно следовать нескольким шагам:

1. Найти корни функции. Для этого решим уравнение -x^3+4x^2-4x=0. Факторизация дает -x(x^2-4x+4)=0, что приводит к корням x=0, x=2.

2. Найти значения функции в точках перегиба. Для этого найдем вторую производную функции: y''=-6x+8. Подставим корни x=0, x=2 и убедимся, что в точке x=2 функция имеет локальный максимум.

3. Построить график. На основе найденных корней и значений функции в точках перегиба построим график функции y=-x^3+4x^2-4x. График будет иметь вид параболы, уходящей вниз и имеющей локальный максимум в точке x=2.

Для построения графика функции ( y = -x^3 + 4x^2 - 4x ), следует выполнить несколько шагов, которые помогут понять свойства функции и правильно изобразить её график.

1. Найдите нули функции

Чтобы найти нули функции, решим уравнение:

[ -x^3 + 4x^2 - 4x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобки:

[ x(-x^2 + 4x - 4) = 0 ]

Итак, один из корней — это ( x = 0 ).

Теперь решим квадратное уравнение:

[ -x^2 + 4x - 4 = 0 ]

Домножим на -1 для удобства:

[ x^2 - 4x + 4 = 0 ]

Это уравнение можно представить как полный квадрат:

[ (x - 2)^2 = 0 ]

Таким образом, ( x = 2 ) — корень кратности 2.

Итак, нули функции: ( x = 0 ) и ( x = 2 ) (кратности 2).

2. Найдите производную функции

Производная функции поможет определить интервалы возрастания и убывания, а также найти экстремумы.

[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 4x^2 - 4x) = -3x^2 + 8x - 4 ]

3. Найдите критические точки

Решим уравнение:

[ -3x^2 + 8x - 4 = 0 ]

Можно воспользоваться дискриминантом:

[ D = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-4) = 64 - 48 = 16 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{-6} = \frac{-8 \pm 4}{-6} ]

[ x_1 = \frac{-8 + 4}{-6} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-8 - 4}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2 ]

4. Определите интервалы возрастания и убывания

Проверим знак производной на интервалах, определённых критическими точками:

• ( (-\infty, \frac{2}{3}) )
• ( (\frac{2}{3}, 2) )
• ( (2, \infty) )

Возьмём пробные точки на каждом интервале и подставим в производную:

• На интервале ((- \infty, \frac{2}{3})), пусть ( x = 0 ): ( y'(0) = -4 ). Производная отрицательна, функция убывает.
• На интервале ((\frac{2}{3}, 2)), пусть ( x = 1 ): ( y'(1) = 1 ). Производная положительна, функция возрастает.
• На интервале ( (2, \infty) ), пусть ( x = 3 ): ( y'(3) = -11 ). Производная отрицательна, функция убывает.

5. Найдите значения функции в критических точках

• ( y\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) )
• ( y(2) = -2^3 + 4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 0 )

6. Постройте график

• Нули: ( x = 0 ) и ( x = 2 ).
• Критические точки: ( x = \frac{2}{3} ) (локальный минимум) и ( x = 2 ) (точка перегиба).
• Функция убывает на интервалах ((-\infty, \frac{2}{3})) и ((2, \infty)), возрастает на ((\frac{2}{3}, 2)).

Теперь, зная все эти свойства, можно построить график функции, который будет иметь форму кубической параболы с точками перегиба и экстремумами в указанных критических точках.

Для построения графика функции y=-x^3+4x^2-4x можно использовать программы для построения графиков, такие как GeoGebra или Desmos.