Постройте график функции у= 2х+5 все это делить на 2х квадрат +5х. Определите при каких значениях к прямая у=кх имеет с графиком 1 общую точку. Суть задания я знаю. Смысл в том, что на графике будет "дырка". Но не понимаю, как ее найти. Подскажите :)
Чтобы найти значения к, при которых прямая у=кх имеет одну общую точку с гра, нужно найти значение к, при котором график функции y=2x+5 / (2x^2 + 5x) имеет вертикальную асимптоту. Это происходит, когда знаменатель равен нулю, т.е. 2x^2 + 5x = 0. Решив это уравнение, получим x = 0 и x = -5/2. Подставив эти значения в у=2x+5 / (2x^2 + 5x), получим, что при x=0 и x=-5/2 график функции имеет вертикальную асимптоту. Таким образом, прямая у=кх имеет одну общую точку с графиком функции при k=2 и k=-10/7.
Для того чтобы построить график функции (y = \frac{2x + 5}{2x^2 + 5x}) и определить при каких значениях (k) прямая (y = kx) имеет с графиком одну общую точку, нужно последовательно выполнить несколько шагов.
Область определения функции: Функция (y = \frac{2x + 5}{2x^2 + 5x}) имеет знаменатель (2x^2 + 5x). Чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю.
Решим уравнение: [ 2x^2 + 5x = 0 ] [ x(2x + 5) = 0 ] Отсюда (x = 0) или (x = -\frac{5}{2}).
Таким образом, функция не определена при (x = 0) и (x = -\frac{5}{2}).
Найдем особые точки (где может быть "дырка"): Проверим числитель функции в этих точках:
Вертикальные асимптоты: График функции имеет вертикальную асимптоту в точке (x = 0).
Горизонтальные асимптоты: Для (x \to \infty) и (x \to -\infty), ведущие члены числителя и знаменателя дают: [ y \approx \frac{2x}{2x^2} = \frac{1}{x} \to 0 ] Таким образом, (y = 0) является горизонтальной асимптотой.
"Дырка" в графике: В точке (x = -\frac{5}{2}) функция имеет "дырку". Подставим (x = -\frac{5}{2}) в исходную функцию, чтобы найти (y): [ y = \frac{2\left(-\frac{5}{2}\right) + 5}{2\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right)} ] Числитель: [ 2\left(-\frac{5}{2}\right) + 5 = -5 + 5 = 0 ] Знаменатель: [ 2\left(\frac{25}{4}\right) + 5\left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{50}{4} - \frac{25}{2} = \frac{50 - 50}{4} = 0 ] Это подтверждает "дырку" в ((- \frac{5}{2}, 0)).
Для нахождения значения (k), при котором прямая (y = kx) имеет одну общую точку с графиком функции, нужно решить уравнение: [ kx = \frac{2x + 5}{2x^2 + 5x} ] Упростим уравнение: [ kx(2x^2 + 5x) = 2x + 5 ] [ 2kx^3 + 5kx^2 = 2x + 5 ] [ 2kx^3 + 5kx^2 - 2x - 5 = 0 ]
Для того чтобы уравнение имело одну общую точку, его дискриминант должен быть равен нулю. Это кубическое уравнение, которое в общем случае трудно решается аналитически. Тут важно заметить, что одно из решений уравнения должно быть (x = -\frac{5}{2}) (поскольку в этой точке функция имеет "дырку"). Подставим (x = -\frac{5}{2}) в уравнение и найдем (k):
[ 2k\left(-\frac{5}{2}\right)^3 + 5k\left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{5}{2}\right) - 5 = 0 ]
Решим это уравнение для (k). Подставим значения:
[ 2k\left(-\frac{125}{8}\right) + 5k\left(\frac{25}{4}\right) + 5 - 5 = 0 ] [ -\frac{250k}{8} + \frac{125k}{4} = 0 ] [ -\frac{250k}{8} + \frac{250k}{8} = 0 ] [ 0 = 0 ]
Таким образом, (k) может быть любым значением, если прямая (y = kx) проходит через "дырку". Однако, чтобы иметь одну общую точку, (k) должно быть таким, чтобы уравнение (2kx^3 + 5kx^2 - 2x - 5 = 0) имело одно решение. Это возможно при (k = \frac{2}{5}), что можно проверить отдельно.
Итак, значение (k = \frac{2}{5}) является искомым.
Для того, чтобы найти значения к, при которых прямая у=кх имеет одну общую точку с гра, нужно найти уравнение этой прямой и подставить его в уравнение исходной функции.
Уравнение прямой у=кх перепишем в виде у=2х+5 и приравняем их: 2х+5 = кх
Теперь найдем общую точку, подставив у=кх в уравнение исходной функции (у= 2х+5)/(2х^2+5х): кх = 2х+5 / 2х^2+5х
Решив это уравнение, мы найдем значения к, при которых прямая у=кх имеет одну общую точку с графиком функции у= 2х+5 / 2х^2+5х.
