Постройте график функции у=-3х^2+6х+9 укажите значение x, при которых: а) функция убывает б) возрастает...

Для построения графика функции ( y = -3x^2 + 6x + 9 ) необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти вершину параболы: Поскольку это квадратичная функция (парабола), ее график имеет форму параболы, которая открывается вниз, так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный (-3).

   Вершина параболы находится в точке ( x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} ), где ( a = -3 ) и ( b = 6 ).

   Подставляем значения: [ x_{\text{вершина}} = -\frac{6}{2(-3)} = 1 ]

   Найдем значение функции в этой точке: [ y_{\text{вершина}} = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12 ]

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 12).

2. Найти точки пересечения с осью x (нулевые точки): Для этого решим уравнение ( -3x^2 + 6x + 9 = 0 ).

   Используем дискриминант ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-3)(9) = 36 + 108 = 144 ]

   Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2(-3)} = \frac{-6 \pm 12}{-6} ]

   Таким образом, корни: [ x_1 = \frac{6}{-6} = -1, \quad x_2 = \frac{-18}{-6} = 3 ]

   Точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (3, 0).

3. Найти точку пересечения с осью y: Для этого подставим ( x = 0 ) в уравнение функции: [ y = -3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9 ]

   Точка пересечения с осью y: (0, 9).

4. Анализ поведения функции:

   • Функция убывает на интервале ( (1, \infty) ), так как парабола открывается вниз и вершина находится в точке ( x = 1 ).
   • Функция возрастает на интервале ( (-\infty, 1) ).

5. Значения функции:

   • Функция принимает значение 0 в точках ( x = -1 ) и ( x = 3 ).
   • Функция принимает значения, большие 0 на интервале ( -1 < x < 3 ).
   • Функция принимает значения, меньшие 0 на интервалах ( x < -1 ) и ( x > 3 ).

Графическое представление:

График функции ( y = -3x^2 + 6x + 9 ) представляет собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке (1, 12). Парабола пересекает ось x в точках (-1, 0) и (3, 0), и ось y в точке (0, 9).

Итоговый график:

              12
              |
              |       *
              |      / \
              |     /   \
              |    /     \
              |   /       \
              |  /         \
          9 ---*------------*---
              |/             \
              *               *
          -1  |       1       |  3
              |

График показывает, что функция возрастает на интервале ( (-\infty, 1) ) и убывает на интервале ( (1, \infty) ).

Для построения графика функции у=-3х^2+6х+9 необходимо использовать метод дискриминантов. Посчитаем дискриминант уравнения:

D = (-3)^2 - 4(-3)9 = 9 + 108 = 117

D > 0, следовательно уравнение имеет два корня. Найдем их:

х₁ = (-6 + √117) / (-6) ≈ -0,46

х₂ = (-6 - √117) / (-6) ≈ 3,46

Таким образом, точки пересечения с осями координат равны примерно -0,46 и 3,46.

а) Функция убывает на интервалах от -бесконечности до -0,46 и от 3,46 до +бесконечности.

б) Функция возрастает на интервале от -0,46 до 3,46.

в) Для того чтобы найти значения, на которых функция равна 0, нужно решить у=-3х^2+6х+9=0:

-3х^2+6х+9=0

х^2-2х-3=0

(х-3)(х+1)=0

х₁=3, х₂=-1

Таким образом, функция принимает значение равное 0 при x=3 и x=-1. Из графика видно, что функция больше 0 на интервале (-бесконечность; -1) и (3; +бесконечность), а меньше 0 на интервале (-1; 3).