Постройте график функции у=4х-х^2. Найдите : а)наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (0;3) б) промежутки возрастания и убывания функции; в) решение неравенства 4^2-х^2меньше 0.
Постройте график функции у=4х-х^2. Найдите : а)наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (0;3) б) промежутки возрастания и убывания функции; в) решение неравенства 4^2-х^2меньше 0.
Для того чтобы решить данную задачу, начнем с построения графика функции ( y = 4x - x^2 ).
Эта функция является квадратичной и имеет вид ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a = -1 ), ( b = 4 ), ( c = 0 ). График этой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при ( x^2 ) отрицательный).
Найдем вершину параболы. Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке с абсциссой ( x = -\frac{b}{2a} ).
Подставим наши значения:
[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 ]
Теперь найдем значение функции в этой точке:
[ y(2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4 ]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, 4).
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечение с осью ( y ): При ( x = 0 ):
[ y = 4 \cdot 0 - 0^2 = 0 ]
Следовательно, точка пересечения с осью ( y ) — (0, 0).
Пересечение с осью ( x ): При ( y = 0 ):
[ 4x - x^2 = 0 ] [ x(4 - x) = 0 ]
Следовательно, ( x = 0 ) или ( x = 4 ).
Точки пересечения с осью ( x ) — (0, 0) и (4, 0).
Теперь можно построить график параболы, используя найденные точки и вершину.
Проверим значения функции в концах отрезка и в вершине параболы (если она лежит внутри отрезка).
[ y(0) = 4 \cdot 0 - 0^2 = 0 ] [ y(3) = 4 \cdot 3 - 3^2 = 12 - 9 = 3 ]
Вершина параболы ( x = 2 ) лежит внутри отрезка ([0;3]):
[ y(2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4 ]
На отрезке ([0;3]):
Функция ( y = 4x - x^2 ) возрастает, когда её производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна.
Найдем производную:
[ y' = 4 - 2x ]
Решим неравенство ( y' > 0 ):
[ 4 - 2x > 0 ] [ 4 > 2x ] [ x < 2 ]
Таким образом, функция возрастает на промежутке ( (-\infty, 2) ).
Решим неравенство ( y' < 0 ):
[ 4 - 2x < 0 ] [ 4 < 2x ] [ x > 2 ]
Таким образом, функция убывает на промежутке ( (2, \infty) ).
Рассмотрим уравнение ( 4x - x^2 = 0 ):
[ x(4 - x) = 0 ]
Корни уравнения: ( x = 0 ) и ( x = 4 ).
Парабола ( y = 4x - x^2 ) направлена вниз, следовательно, она принимает отрицательные значения между её корнями ( x = 0 ) и ( x = 4 ).
Таким образом, решение неравенства ( 4x - x^2 < 0 ):
[ 0 < x < 4 ]
Итак, мы нашли все необходимые значения и промежутки для данной функции.
а) Наименьшее значение функции на отрезке (0;3) равно -9, наибольшее значение функции равно 3. б) Функция возрастает на интервалах (-бесконечность;1) и (3;+бесконечность), убывает на интервале (1;3). в) Решение неравенства 4х-х^2 < 0: -2 < x < 4.
Для построения графика функции у=4х-х^2 необходимо сначала найти вершину параболы, которая задается уравнением х=-b/2a. В данном случае a=-1, b=4, поэтому х=-4/(2*(-1))=2. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2;4).
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (0;3). Для этого подставим граничные значения х=0 и х=3 в у=4х-х^2. При х=0: у=40-0^2=0 При х=3: у=43-3^2=12-9=3 Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке (0;3) равно 3, а наименьшее значение равно 0.
Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаками производной. Производная функции у=4х-х^2 равна у'=4-2х. У'=0 при х=2. Таким образом, функция возрастает на (-бесконечность;2) и убывает на (2;+бесконечность).
Неравенство 4^2-х^2
