Постройте график функции у=4х-х^2. Найдите : а)наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $0;3$...

Для того чтобы решить данную задачу, начнем с построения графика функции $y=4x-x^2$.

1. Построение графика функции $y=4x-x^2$:

Эта функция является квадратичной и имеет вид $y=a{x}^2+bx+c$, где $a=-1$, $b=4$, $c=0$. График этой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз $таккаккоэффициентпри(x^2$ отрицательный).

Найдем вершину параболы. Вершина параболы $y=a{x}^2+bx+c$ находится в точке с абсциссой $x=-\frac{b}{2a}$.

Подставим наши значения:

$x=-\frac{4}{2(-1)}=2$

Теперь найдем значение функции в этой точке:

$y(2)=4\cdot 2-2^2=8-4=4$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $2,4$.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

• Пересечение с осью $y$: При $x=0$:

  $y=4\cdot 0-0^2=0$

  Следовательно, точка пересечения с осью $y$ — $0,0$.

• Пересечение с осью $x$: При $y=0$:

  $4x-x^2=0$ $x(4-x)=0$

  Следовательно, $x=0$ или $x=4$.

  Точки пересечения с осью $x$ — $0,0$ и $4,0$.

Теперь можно построить график параболы, используя найденные точки и вершину.

1. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[0;3]$:

• Проверим значения функции в концах отрезка и в вершине параболы $еслионалежитвнутриотрезка$.

  $y(0)=4\cdot 0-0^2=0$ $y(3)=4\cdot 3-3^2=12-9=3$

  Вершина параболы $x=2$ лежит внутри отрезка $[0;3]$:

  $y(2)=4\cdot 2-2^2=8-4=4$

На отрезке $[0;3]$:

• Наименьшее значение функции: $y(0$ = 0 )
• Наибольшее значение функции: $y(2$ = 4 )

1. Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция $y=4x-x^2$ возрастает, когда её производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна.

Найдем производную:

$y^{\prime }=4-2x$

Решим неравенство $y^{\prime }>0$:

$4-2x>0$ $4>2x$ $x<2$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\mathrm{\infty },2$ ).

Решим неравенство $y^{\prime }<0$:

$4-2x<0$ $4<2x$ $x>2$

Таким образом, функция убывает на промежутке $(2,\mathrm{\infty }$ ).

1. Решение неравенства $4x-x^2<0$:

Рассмотрим уравнение $4x-x^2=0$:

$x(4-x)=0$

Корни уравнения: $x=0$ и $x=4$.

Парабола $y=4x-x^2$ направлена вниз, следовательно, она принимает отрицательные значения между её корнями $x=0$ и $x=4$.

Таким образом, решение неравенства $4x-x^2<0$:

$0<x<4$

Итак, мы нашли все необходимые значения и промежутки для данной функции.

а) Наименьшее значение функции на отрезке $0;3$ равно -9, наибольшее значение функции равно 3. б) Функция возрастает на интервалах $-бесконечность;1$ и $3;+бесконечность$, убывает на интервале $1;3$. в) Решение неравенства 4х-х^2 < 0: -2 < x < 4.

Для построения графика функции у=4х-х^2 необходимо сначала найти вершину параболы, которая задается уравнением х=-b/2a. В данном случае a=-1, b=4, поэтому х=-4/$2\ast (-1$)=2. Таким образом, вершина параболы находится в точке $2;4$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $0;3$. Для этого подставим граничные значения х=0 и х=3 в у=4х-х^2. При х=0: у=40-0^2=0 При х=3: у=43-3^2=12-9=3 Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $0;3$ равно 3, а наименьшее значение равно 0.

Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаками производной. Производная функции у=4х-х^2 равна у'=4-2х. У'=0 при х=2. Таким образом, функция возрастает на $-бесконечность;2$ и убывает на $2;+бесконечность$.

Неравенство 4^2-х^2