Постройте график функции у 6х+7/6х^2+7х и определите, при каких значениях прямая у=кх имеет с графиком...

Для начала рассмотрим функцию ( y = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x} ). Чтобы построить график этой функции и определить, при каких значениях прямая ( y = kx ) имеет с графиком ровно одну общую точку, нужно провести несколько шагов.

Шаг 1: Анализ функции

1. Область определения: Определим область, в которой функция имеет смысл. Деноминатор ( 6x^2 + 7x ) не должен равняться нулю: [ 6x^2 + 7x \neq 0 ] Решим это уравнение: [ x(6x + 7) \neq 0 ] Отсюда ( x \neq 0 ) и ( x \neq -\frac{7}{6} ).

2. Асимптоты:

   • Вертикальные асимптоты возникают при значениях ( x ), при которых знаменатель равен нулю, то есть ( x = 0 ) и ( x = -\frac{7}{6} ).
   • Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при ( x \to \infty ). Если ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ), то ( y ) стремится к: [ y = \frac{6x}{6x^2} = \frac{1}{x} \to 0 ] Таким образом, горизонтальная асимптота ( y = 0 ).

Шаг 2: Построение графика функции

Чтобы построить график функции, можно определить несколько точек, через которые проходит график, и учитывать асимптоты:

• Вычислим значение функции в нескольких точках: [ y(1) = \frac{6 \cdot 1 + 7}{6 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1} = \frac{13}{13} = 1 ] [ y(-1) = \frac{6 \cdot (-1) + 7}{6 \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1)} = \frac{1}{-1} = -1 ] [ y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{6 \cdot \frac{1}{2} + 7}{6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3 + 7}{1.5 + 3.5} = \frac{10}{5} = 2 ]

Используя точки и асимптоты, можно построить график функции, который будет стремиться к вертикальным асимптотам при ( x = 0 ) и ( x = -\frac{7}{6} ), а горизонтальная асимптота будет ( y = 0 ).

Шаг 3: Пересечение с прямой ( y = kx )

Чтобы прямая ( y = kx ) имела ровно одну общую точку с графиком функции ( y = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x} ), надо решить уравнение: [ kx = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x} ]

Перенесем все члены в одну часть уравнения и приведем к общему знаменателю: [ kx(6x^2 + 7x) = 6x + 7 ] [ 6kx^3 + 7kx^2 = 6x + 7 ]

Это уравнение третьей степени относительно ( x ): [ 6kx^3 + 7kx^2 - 6x - 7 = 0 ]

Для того чтобы это уравнение имело ровно одно решение, необходимо, чтобы был ровно один корень. Это возможно, если дискриминант этого уравнения равен нулю. Однако, рассматривать дискриминант кубического уравнения довольно сложно. Проще будет найти такие значения ( k ), при которых это уравнение имеет кратные корни.

В любом случае, для гарантии единственного решения можно попробовать численные методы или графические методы для определения ( k ).

Итог

Таким образом, для нахождения значений ( k ), при которых уравнение ( y = \frac{6x + 7}{6x^2 + 7x} ) пересекается с ( y = kx ) ровно в одной точке, необходимо решить кубическое уравнение и проверить его на наличие единственного корня. Это аналитически непростая задача, поэтому рекомендуется использовать численные методы или графические подходы для нахождения точных значений ( k ).

Для построения графика функции у = (6x + 7) / (6x^2 + 7x) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат: у = 0 при x = -7/6 и x = 0 (вертикальная асимптота при x = 0).

2. Построим график функции, учитывая найденные точки пересечения.

3. Далее рассмотрим прямую у = kx и найдем значения k, при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции у = (6x + 7) / (6x^2 + 7x).

4. Для этого решим уравнение (6x + 7) / (6x^2 + 7x) = kx и найдем значения x, при которых это уравнение имеет ровно одно решение.

5. На графике определим точку пересечения прямой у = kx с графиком функции у = (6x + 7) / (6x^2 + 7x).

Таким образом, мы сможем определить значения k, при которых прямая у = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции у = (6x + 7) / (6x^2 + 7x).

Для построения графика функции у=6х+7/6х^2+7х необходимо использовать программы для построения графиков или калькуляторы с функцией графопостроения. Чтобы определить, при каких значениях прямая у=кх имеет с графиком ровно одну общую точку, необходимо решить уравнение 6х+7/6х^2+7х=кх.