Постройте график функции y=0 25x^4-2x^2

Чтобы построить график функции ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ), выполните следующие шаги:

1. Найдите нули функции, решив уравнение ( 0.25x^4 - 2x^2 = 0 ). Это уравнение можно упростить, вынеся общий множитель: ( x^2(0.25x^2 - 2) = 0 ). Таким образом, ( x^2 = 0 ) или ( 0.25x^2 - 2 = 0 ). Нули функции: ( x = 0 ) и ( x = \pm 4 ).

2. Определите поведение функции на промежутках между корнями. Например, можно выбрать значения ( x ) в интервалах ( (-\infty, -4) ), ( (-4, 0) ), ( (0, 4) ) и ( (4, \infty) ) и подставить их в функцию, чтобы найти знаки.

3. Найдите производную функции ( y' = x^3 - 2x ) и определите критические точки, решив уравнение ( x^3 - 2x = 0 ). Это уравнение имеет корни ( x = 0 ) и ( x = \pm \sqrt{2} ).

4. Исследуйте значения функции в этих точках и на границах интервалов, чтобы определить максимумы и минимумы.

5. Постройте график, учитывая найденные нули, поведение функции и экстремумы.

График будет иметь вид "U" с минимумом в точке ( x = 0 ) и максимальными значениями на краях.

Чтобы построить график функции ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ), давайте сначала проанализируем её свойства, такие как нули функции, производная, максимум и минимум, а затем построим график.

1. Нахождение нулей функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение:

[ 0.25x^4 - 2x^2 = 0 ]

Можно вынести общий множитель:

[ x^2(0.25x^2 - 2) = 0 ]

Это уравнение даёт два случая:

1. ( x^2 = 0 ) → ( x = 0 )
2. ( 0.25x^2 - 2 = 0 ) → ( 0.25x^2 = 2 ) → ( x^2 = 8 ) → ( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} )

Таким образом, нули функции: ( x = 0, \, x = 2\sqrt{2}, \, x = -2\sqrt{2} ).

2. Нахождение производной

Теперь найдём производную функции, чтобы определить критические точки и поведение функции:

[ y' = \frac{d}{dx}(0.25x^4 - 2x^2) = 1.0x^3 - 4x ]

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

[ x^3 - 4x = 0 ]

Вынесем общий множитель:

[ x(x^2 - 4) = 0 ]

Это даёт:

1. ( x = 0 )
2. ( x^2 - 4 = 0 ) → ( x = \pm 2 )

3. Анализ критических точек

Теперь найдём значения функции в критических точках:

• ( y(0) = 0.25(0)^4 - 2(0)^2 = 0 )
• ( y(2) = 0.25(2)^4 - 2(2)^2 = 0.25 \cdot 16 - 8 = 4 - 8 = -4 )
• ( y(-2) = 0.25(-2)^4 - 2(-2)^2 = 0.25 \cdot 16 - 8 = 4 - 8 = -4 )

Теперь мы знаем, что:

• В точке ( x = 0 ) функция равна 0.
• В точках ( x = 2 ) и ( x = -2 ) функция достигает значения -4.

4. Определение интервалов

Теперь определим, где функция возрастает и убывает, исследуя знак производной.

• Для интервала ((-∞, -2)):

  • Выберем ( x = -3 ): ( y' = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0 ) (убывает)

• Для интервала ((-2, 0)):

  • Выберем ( x = -1 ): ( y' = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0 ) (возрастает)

• Для интервала ((0, 2)):

  • Выберем ( x = 1 ): ( y' = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0 ) (убывает)

• Для интервала ((2, +∞)):

  • Выберем ( x = 3 ): ( y' = (3)^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0 ) (возрастает)

5. Построение графика

Теперь мы можем построить график функции:

1. Критические точки:

   • ( (0, 0) )
   • ( (2, -4) )
   • ( (-2, -4) )

2. Направление изменения:

   • Убывает на ((-∞, -2))
   • Возрастает на ((-2, 0))
   • Убывает на ((0, 2))
   • Возрастает на ((2, +∞))

3. Нули функции: ( x = 0, \, x = 2\sqrt{2}, \, x = -2\sqrt{2} )

6. График

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Он будет иметь форму «U», открывающуюся вверх, с минимумом в точках ( (-2, -4) ) и ( (2, -4) ).
• Пересечения с осью X происходят в точках ( x = 0, \, x = -2\sqrt{2}, \, x = 2\sqrt{2} ).

Можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения функции, чтобы получить более точный график.

Таким образом, функция ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ) имеет определенные критические точки и нули, что позволяет нам понять её поведение и строить график.

Давайте подробно разберем функцию ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ), построим её график и проанализируем его свойства.

Шаг 1. Анализ функции

Функция ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ) является многочленом четной степени (четвертой). Это значит, что график будет симметричным относительно оси ( y ) (поскольку все степени ( x ) являются четными). Рассмотрим ключевые моменты.

1. Коэффициенты

• ( 0.25x^4 ): указывает, что при больших значениях ( |x| ) член ( 0.25x^4 ) доминирует, а график будет стремиться вверх (( y \to +\infty ), когда ( x \to \pm\infty )).
• ( -2x^2 ): указывает на наличие "впадины" (локального минимума или максимума) в области, где этот член преобладает.

2. Общий вид графика

Так как при ( x \to \pm\infty ) старшая степень ( x^4 ) доминирует, график будет "раскрываться" вверх. Однако из-за наличия отрицательного коэффициента у ( x^2 ), функция сначала убывает, достигает минимума, а затем возрастает.

Шаг 2. Найдем критические точки

Для нахождения критических точек функции нужно найти её производную и приравнять её к нулю.

Функция:
[ y = 0.25x^4 - 2x^2 ]

Найдём производную:
[ y' = \frac{d}{dx} \left( 0.25x^4 - 2x^2 \right) = 4 \cdot 0.25x^3 - 4x = x^3 - 4x ]

Приравняем производную к нулю:
[ x^3 - 4x = 0 ]

Вынесем ( x ) за скобки:
[ x(x^2 - 4) = 0 ]

Разложим ( x^2 - 4 ) на множители:
[ x(x - 2)(x + 2) = 0 ]

Таким образом, критические точки:
[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2 ]

Шаг 3. Определим поведение функции в критических точках

Чтобы понять, является ли каждая критическая точка максимумом, минимумом или точкой перегиба, исследуем знак производной ( y' ) в промежутках, на которые делят ось ( x ) точки ( x = -2 ), ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

1. На интервале ( (-\infty, -2) ):
   Возьмем тестовую точку ( x = -3 ):
   ( y' = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 ) (\Rightarrow y' < 0 ) (убывает).

2. На интервале ( (-2, 0) ):
   Возьмем тестовую точку ( x = -1 ):
   ( y' = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 ) (\Rightarrow y' > 0 ) (возрастает).

3. На интервале ( (0, 2) ):
   Возьмем тестовую точку ( x = 1 ):
   ( y' = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 ) (\Rightarrow y' < 0 ) (убывает).

4. На интервале ( (2, \infty) ):
   Возьмем тестовую точку ( x = 3 ):
   ( y' = (3)^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 ) (\Rightarrow y' > 0 ) (возрастает).

Итак:

• ( x = -2 ): максимум (убывает слева, возрастает справа).
• ( x = 0 ): минимум (возрастает слева, убывает справа).
• ( x = 2 ): максимум (убывает слева, возрастает справа).

Шаг 4. Найдем значения функции в ключевых точках

Посчитаем значения функции ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ) в критических точках:

1. При ( x = -2 ):
   [ y = 0.25(-2)^4 - 2(-2)^2 = 0.25(16) - 2(4) = 4 - 8 = -4 ]

2. При ( x = 0 ):
   [ y = 0.25(0)^4 - 2(0)^2 = 0 ]

3. При ( x = 2 ):
   [ y = 0.25(2)^4 - 2(2)^2 = 0.25(16) - 2(4) = 4 - 8 = -4 ]

Итак, функция принимает значения:

• ( y = -4 ) при ( x = -2 ) и ( x = 2 ) (максимумы).
• ( y = 0 ) при ( x = 0 ) (минимум).

Шаг 5. Построение графика

График функции ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ) имеет такие особенности:

1. Симметрия относительно оси ( y ).
2. Максимумы при ( x = -2 ) и ( x = 2 ) (( y = -4 )).
3. Минимум при ( x = 0 ) (( y = 0 )).
4. Поведение на концах: ( y \to +\infty ) при ( x \to \pm\infty ).

Шаг 6. Общий вид графика

График будет "волнообразным":

• Убывает на интервале ( (-\infty, -2) ), достигает максимума в точке ( x = -2 ).
• Возрастает на ( (-2, 0) ), достигает минимума в точке ( x = 0 ).
• Убывает на ( (0, 2) ), достигает максимума в точке ( x = 2 ).
• Возрастает на ( (2, \infty) ).

Это придаёт графику форму "двойного параболического изгиба".

Итог

График функции ( y = 0.25x^4 - 2x^2 ) — это симметричная кривая с максимумами при ( x = \pm2 ) и минимумом при ( x = 0 ). При больших значениях ( |x| ) график уходит вверх.