Постройте график функции y = - 2/x+1 .Укажите область определения функции.

Для построения графика функции y = -2/x + 1 необходимо определить область определения этой функции. Область определения функции - это множество всех значений аргумента, при которых функция определена.

В данном случае функция y = -2/x + 1 определена для всех значений x, кроме x = 0, так как в этом случае знаменатель равен нулю, что приводит к неопределенности.

Теперь построим график функции. Для этого можно выбрать несколько значений x, вычислить соответствующие им значения y и построить точки на координатной плоскости. Также можно использовать дополнительные точки, например, точку пересечения с осями координат.

Полученный график будет иметь вид гиперболы, проходящей через точку (1, -1) и асимптоты y = 1 и x = 0.

График функции y = -2/x + 1 - гипербола. Область определения функции: x ≠ 0.

Для того чтобы построить график функции ( y = -\frac{2}{x+1} ), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Область определения функции (ОДЗ)

Функция ( y = -\frac{2}{x+1} ) является дробно-рациональной, и для того чтобы определить область её определения, нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Запишем условие для знаменателя: [ x + 1 \neq 0 ] Решим это уравнение: [ x \neq -1 ]

Таким образом, область определения функции: [ D(y) = { x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 } ] Или в интервалной записи: [ D(y) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) ]

2. Построение графика функции

Функция ( y = -\frac{2}{x+1} ) имеет вид гиперболы с вертикальной асимптотой и горизонтальной асимптотой.

2.1. Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает при значении ( x ), где функция не определена, то есть при ( x = -1 ).

2.2. Горизонтальная асимптота

Для нахождения горизонтальной асимптоты рассмотрим поведение функции при ( x \to \pm\infty ): [ y = -\frac{2}{x+1} ] При ( x \to \pm\infty ) знаменатель ( x + 1 ) становится большим по модулю, и ( \frac{2}{x+1} ) стремится к нулю. Таким образом, функция стремится к значению: [ y \to 0 ] Это означает, что горизонтальная асимптота — прямая ( y = 0 ).

3. Характерные точки

Для более точного построения графика найдем несколько характерных точек, через которые проходит график функции.

• Для ( x = 0 ): [ y = -\frac{2}{0+1} = -2 ] Точка ( (0, -2) ).

• Для ( x = 1 ): [ y = -\frac{2}{1+1} = -1 ] Точка ( (1, -1) ).

• Для ( x = -2 ): [ y = -\frac{2}{-2+1} = 2 ] Точка ( (-2, 2) ).

• Для ( x = 2 ): [ y = -\frac{2}{2+1} = -\frac{2}{3} \approx -0.67 ] Точка ( (2, -0.67) ).

4. Построение графика

Теперь можно построить график, учитывая асимптоты и найденные точки:

1. Нарисуйте вертикальную асимптоту ( x = -1 ) и горизонтальную асимптоту ( y = 0 ).
2. Нанесите на график характерные точки ( (0, -2) ), ( (1, -1) ), ( (-2, 2) ), и ( (2, -0.67) ).
3. Соедините точки плавной кривой, подходящей к асимптотам. Учтите, что при приближении к ( x = -1 ), функция резко уходит к (\pm\infty), а при ( x \to \pm\infty ) функция стремится к нулю.

Итог

График функции ( y = -\frac{2}{x+1} ) представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой ( x = -1 ) и горизонтальной асимптотой ( y = 0 ). Область определения функции: ( x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) ).