Постройте график функции y=2x+1/2x²+x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком...

Для начала построим график функции y=2x+1/2x²+x. Для этого можно использовать программы для построения графиков, например, Wolfram Alpha или GeoGebra. После построения графика можно определить, при каких значениях k прямая y=kx пересекает график функции ровно в одной точке.

Чтобы прямая y=kx пересекала график функции в одной точке, необходимо, чтобы уравнение функции и уравнение прямой имели ровно одно решение. То есть, необходимо, чтобы система уравнений y=2x+1/2x²+x и y=kx имела ровно одно решение.

Подставим уравнение прямой y=kx в уравнение функции y=2x+1/2x²+x: kx = 2x+1/2x²+x

Решив это уравнение, получим значения k, при которых прямая пересекает график функции ровно в одной точке.

Для построения графика функции y=2x+1/2x²+x необходимо использовать программу для построения графиков, такую как GeoGebra или Desmos.

Чтобы прямая y=kx имела с графиком функции ровно одну точку, значение k должно быть равно коэффициенту при x в выражении функции (в данном случае k=2).

Для построения графика функции ( y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} ) рассмотрим несколько шагов, включая анализ особенностей функции, асимптот и поведения на границах.

1. Упрощение функции: Функция ( y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} ) не упрощается алгебраически до более простого вида. Поэтому анализируем её как есть.

2. Нахождение асимптот:

   • Горизонтальные асимптоты: Для нахождения горизонтальных асимптот рассмотрим предел функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ): [ \lim{x \to \infty} \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \lim{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{2x + 1/x} = 0 ] Аналогично, при ( x \to -\infty ): [ \lim{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \lim{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{2x + 1/x} = 0 ] Таким образом, горизонтальная асимптота ( y = 0 ).

   • Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты возникают при значениях ( x ), для которых знаменатель обращается в ноль, а числитель — не равен нулю. Решим уравнение: [ 2x^2 + x = 0 \Rightarrow x(2x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = -\frac{1}{2} ] Проверим числитель в этих точках: [ 2(0) + 1 = 1 \neq 0 \quad \text{и} \quad 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0 ] Таким образом, вертикальная асимптота только при ( x = 0 ).

3. Анализ поведения функции:

   • Проверка симметрии: Функция ( y = \frac{2x + 1}{2x^2 + x} ) не является чётной или нечётной, так как ( f(-x) \neq f(x) ) и ( f(-x) \neq -f(x) ).

   • Исследование на экстремумы и точки перегиба: Найдем производную функции: [ y' = \frac{(2x^2 + x)' \cdot (2x + 1) - (2x + 1)' \cdot (2x^2 + x)}{(2x^2 + x)^2} ] [ y' = \frac{(4x + 1)(2x + 1) - 2(2x^2 + x)}{(2x^2 + x)^2} ] [ = \frac{8x^2 + 6x + 1 - 4x^2 - 2x}{(2x^2 + x)^2} = \frac{4x^2 + 4x + 1}{(2x^2 + x)^2} ] Решим уравнение ( y' = 0 ): [ 4x^2 + 4x + 1 = 0 ] Это квадратное уравнение, его дискриминант: [ D = 16 - 16 = 0 ] Значит, корень один: [ x = -\frac{1}{2} ] Это точка экстремума.

4. Построение графика: Определив точки экстремума и асимптоты, можно построить график функции.

5. Нахождение значений ( k ): Чтобы прямая ( y = kx ) имела с графиком ровно одну точку пересечения, необходимо, чтобы уравнение ( \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = kx ) имело ровно одно решение. [ \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = kx \Rightarrow 2x + 1 = kx(2x^2 + x) ] [ 2x + 1 = 2kx^3 + kx^2 ] [ 2kx^3 + kx^2 - 2x - 1 = 0 ] Это кубическое уравнение. Чтобы оно имело ровно один корень, его дискриминант должен равняться нулю (для кратного корня) или быть положительным (если только один реальный корень).

   В общем случае, решать это кубическое уравнение аналитически сложно, поэтому нужно провести анализ на наличие единственного корня, используя методы анализа функции, такие как нахождение экстремумов производной и исследование их знаков.

В итоге, значения ( k ) можно найти методом анализа производных или численным методом, чтобы гарантировать ровно одно пересечение.

Таким образом, график функции и анализ пересечений с прямой ( y = kx ) требуют детального анализа поведения функции и решения кубического уравнения.