Постройте график функции y=2x+1/2x²+x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком...

Для начала построим график функции y=2x+1/2x²+x. Для этого можно использовать программы для построения графиков, например, Wolfram Alpha или GeoGebra. После построения графика можно определить, при каких значениях k прямая y=kx пересекает график функции ровно в одной точке.

Чтобы прямая y=kx пересекала график функции в одной точке, необходимо, чтобы уравнение функции и уравнение прямой имели ровно одно решение. То есть, необходимо, чтобы система уравнений y=2x+1/2x²+x и y=kx имела ровно одно решение.

Подставим уравнение прямой y=kx в уравнение функции y=2x+1/2x²+x: kx = 2x+1/2x²+x

Решив это уравнение, получим значения k, при которых прямая пересекает график функции ровно в одной точке.

Для построения графика функции y=2x+1/2x²+x необходимо использовать программу для построения графиков, такую как GeoGebra или Desmos.

Чтобы прямая y=kx имела с графиком функции ровно одну точку, значение k должно быть равно коэффициенту при x в выражении функции $вданномслучаеk=2$.

Для построения графика функции $y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$ рассмотрим несколько шагов, включая анализ особенностей функции, асимптот и поведения на границах.

1. Упрощение функции: Функция $y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$ не упрощается алгебраически до более простого вида. Поэтому анализируем её как есть.

2. Нахождение асимптот:

   • Горизонтальные асимптоты: Для нахождения горизонтальных асимптот рассмотрим предел функции при $x\to \mathrm{\infty }$ и $x\to -\mathrm{\infty }$: [ \lim{x \to \infty} \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \lim{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{2x + 1/x} = 0 ] Аналогично, при $x\to -\mathrm{\infty }$: [ \lim{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{2x^2 + x} = \lim{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{2x + 1/x} = 0 ] Таким образом, горизонтальная асимптота $y=0$.

   • Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты возникают при значениях $x$, для которых знаменатель обращается в ноль, а числитель — не равен нулю. Решим уравнение: $2x^2+x=0\Rightarrow x(2x+1)=0\Rightarrow x=0\text{ или }x=-\frac{1}{2}$ Проверим числитель в этих точках: $2(0)+1=1\ne 0\text{и}2(-\frac{1}{2})+1=-1+1=0$ Таким образом, вертикальная асимптота только при $x=0$.

3. Анализ поведения функции:

   • Проверка симметрии: Функция $y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$ не является чётной или нечётной, так как $f(-x$ \neq f$x$ ) и $f(-x$ \neq -f$x$ ).

   • Исследование на экстремумы и точки перегиба: Найдем производную функции: $y^{\prime }=\frac{(2x^2+x{)}^{\prime }\cdot (2x+1)-(2x+1{)}^{\prime }\cdot (2x^2+x)}{(2x^2+x{)}^2}$ $y^{\prime }=\frac{(4x+1)(2x+1)-2(2x^2+x)}{(2x^2+x{)}^2}$ $=\frac{8x^2+6x+1-4x^2-2x}{(2x^2+x{)}^2}=\frac{4x^2+4x+1}{(2x^2+x{)}^2}$ Решим уравнение $y^{\prime }=0$: $4x^2+4x+1=0$ Это квадратное уравнение, его дискриминант: $D=16-16=0$ Значит, корень один: $x=-\frac{1}{2}$ Это точка экстремума.

4. Построение графика: Определив точки экстремума и асимптоты, можно построить график функции.

5. Нахождение значений $k$: Чтобы прямая $y=kx$ имела с графиком ровно одну точку пересечения, необходимо, чтобы уравнение $\frac{2x+1}{2x^2+x}=kx$ имело ровно одно решение. $\frac{2x+1}{2x^2+x}=kx\Rightarrow 2x+1=kx(2x^2+x)$ $2x+1=2k{x}^3+k{x}^2$ $2k{x}^3+k{x}^2-2x-1=0$ Это кубическое уравнение. Чтобы оно имело ровно один корень, его дискриминант должен равняться нулю $длякратногокорня$ или быть положительным $еслитолькоодинреальныйкорень$.

   В общем случае, решать это кубическое уравнение аналитически сложно, поэтому нужно провести анализ на наличие единственного корня, используя методы анализа функции, такие как нахождение экстремумов производной и исследование их знаков.

В итоге, значения $k$ можно найти методом анализа производных или численным методом, чтобы гарантировать ровно одно пересечение.

Таким образом, график функции и анализ пересечений с прямой $y=kx$ требуют детального анализа поведения функции и решения кубического уравнения.