Постройте график функции: y=2x^2-4x+1.

Для построения графика функции y=2x^2-4x+1 необходимо следовать следующим шагам:

1. Определить вершину параболы. Для этого используем формулу x = -b/2a, где a=2, b=-4. Подставляем значения и находим x = -(-4)/(22) = 1. Теперь, чтобы найти y-координату вершины, подставляем x=1 в уравнение функции: y = 21^2 - 4*1 + 1 = 2-4+1 = -1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, -1).

2. Найти точки пересечения с осями координат. Для этого решаем уравнения y=0 и x=0. Подставляем значения и находим, что точки пересечения с осями координат равны (0,1) и (2,0).

3. Находим дополнительные точки для построения графика. Для этого выбираем произвольные значения x и подставляем их в уравнение функции, чтобы найти соответствующие значения y.

4. Построить график, используя найденные точки. Построить параболу, проходящую через вершину и остальные найденные точки. Учитывайте, что парабола открывается вверх, так как коэффициент перед x^2 положительный.

Таким образом, следуя этим шагам, можно построить график функции y=2x^2-4x+1.

Построение графика функции ( y = 2x^2 - 4x + 1 ) включает несколько шагов, которые помогают понять форму и расположение параболы. Вот подробное руководство:

1. Определите тип функции: Функция ( y = 2x^2 - 4x + 1 ) является квадратичной, так как содержит член ( x^2 ). Графиком квадратичной функции является парабола.

2. Коэффициенты и направление ветвей: Старший коэффициент (коэффициент при ( x^2 )) равен 2, что больше нуля. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

3. Найдите вершину параболы: Вершина параболы находится в точке ( (x_0, y_0) ), где: [ x_0 = -\frac{b}{2a} ] Здесь ( a = 2 ), ( b = -4 ). Подставляем значения: [ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 ] Теперь найдем ( y_0 ), подставив ( x_0 ) в исходную функцию: [ y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -1) ).

4. Найдите ось симметрии: Ось симметрии параболы совпадает с вертикальной линией, проходящей через вершину. В данном случае это прямая ( x = 1 ).

5. Найдите точки пересечения с осями координат:

   • Пересечение с осью y: Для этого подставьте ( x = 0 ) в функцию: [ y = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 ] Точка пересечения с осью y: ( (0, 1) ).

   • Пересечение с осью x: Для этого найдите корни уравнения ( 2x^2 - 4x + 1 = 0 ). Используем формулу для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Где ( a = 2 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ). Подставляем значения: [ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ] Таким образом, точки пересечения с осью x: ( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ) и ( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ).

6. Постройте дополнительные точки: Чтобы точнее нарисовать график, можно найти значения функции в нескольких других точках. Например, вычислим значения функции для ( x = -1 ), ( x = 2 ) и ( x = 3 ): [ y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 ] [ y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 ] [ y(3) = 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 18 - 12 + 1 = 7 ]

7. Постройте параболу: На координатной плоскости отметьте вершину ( (1, -1) ), точки пересечения с осями координат ( (0, 1) ), ( (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) ) и ( (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) ), а также дополнительные точки ( (-1, 7) ), ( (2, 1) ), ( (3, 7) ). Соедините эти точки плавной кривой.

Теперь у вас есть точный график функции ( y = 2x^2 - 4x + 1 ).

График функции y=2x^2-4x+1 - это парабола, которая открывается вверх.