Постройте график функции y=4/x. Какова область определения функции? При каких значениях x функция принимает...

График функции y=4/x - гипербола, не проходящая через начало координат. Область определения функции - все действительные числа, кроме x=0. Функция принимает отрицательные значения при x

Для построения графика функции y=4/x необходимо определить область определения функции. Область определения функции y=4/x состоит из всех значений x, при которых знаменатель функции не равен нулю, то есть x ≠ 0. Таким образом, область определения функции y=4/x – это множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Чтобы определить, при каких значениях x функция y=4/x принимает отрицательные значения, необходимо рассмотреть знак функции при различных значениях x. Функция y=4/x принимает отрицательные значения тогда, когда x < 0 или x > 0 (при этом знак y зависит от того, является ли x отрицательным или положительным числом). Таким образом, функция y=4/x принимает отрицательные значения при любых значениях x, кроме x=0.

На графике функции y=4/x можно увидеть, что она представляет собой гиперболу, которая проходит через начало координат и имеет асимптоты y=0 и x=0. График функции будет лежать в первой и третьей четвертях координатной плоскости.

Чтобы построить график функции ( y = \frac{4}{x} ), начнем с анализа ее свойств.

Область определения

Функция ( y = \frac{4}{x} ) определена для всех значений ( x ), кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае знаменатель — это ( x ), поэтому функция не определена при ( x = 0 ). Таким образом, область определения функции — все числа, кроме нуля: ( x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) ).

Построение графика

1. Характер графика: Функция ( y = \frac{4}{x} ) является гиперболой, состоящей из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях координатной плоскости.

2. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ). График приближается к этой линии, но никогда её не пересекает.
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ). При ( x \to \pm\infty ), значение ( y ) стремится к нулю.

3. Анализ знаков:

   • Для ( x > 0 ), ( y = \frac{4}{x} > 0 ). График находится выше оси ( x ).
   • Для ( x < 0 ), ( y = \frac{4}{x} < 0 ). График находится ниже оси ( x ).

Отрицательные значения функции

Функция принимает отрицательные значения, когда ( x < 0 ). Это соответствует левой ветви гиперболы, находящейся в третьей четверти. Здесь ( y ) принимает отрицательные значения, потому что деление положительного числа (4) на отрицательное число (отрицательные значения ( x )) даёт отрицательный результат.

Итог

• Область определения: ( x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) ).
• Отрицательные значения: ( x < 0 ).

График функции имеет характерную форму гиперболы с асимптотами и делит плоскость на две части, соответствующие положительным и отрицательным значениям ( y ) в зависимости от знака ( x ).