Постройте график функции y=5/x и опишите ее свойства Дайте полное решение и желательно с рисунком

Для построения и описания графика функции ( y = \frac{5}{x} ), начнем с анализа ее свойств и затем перейдем к построению.

Свойства функции ( y = \frac{5}{x} )

1. Область определения: функция определена для всех ( x \neq 0 ).

2. Область значений: функция принимает все значения ( y \neq 0 ).

3. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: ( x = 0 ), так как функция не определена в этой точке и значение функции стремится к бесконечности при приближении ( x ) к нулю.
   • Горизонтальная асимптота: ( y = 0 ), функция стремится к нулю при ( x \to \pm\infty ).

4. Четность/нечетность: функция является нечетной, так как ( f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} = -f(x) ), что подразумевает симметрию графика относительно начала координат.

5. Интервалы монотонности:

   • Функция убывает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (0, \infty) ).

6. Точки пересечения с осями координат: функция не пересекает ни ось ( x ), ни ось ( y ), так как не определена в точке ( x = 0 ) и не может принимать значение 0.

Построение графика

Для построения графика, рассчитаем несколько значений функции при различных ( x ):

• ( x = -2 ), ( y = \frac{5}{-2} = -2.5 )
• ( x = -1 ), ( y = \frac{5}{-1} = -5 )
• ( x = 1 ), ( y = \frac{5}{1} = 5 )
• ( x = 2 ), ( y = \frac{5}{2} = 2.5 )

Используя эти точки, можно начертить график. График представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах соответственно.

Визуализация (описание без рисунка)

• График начинается из левого верхнего угла (где ( x ) отрицательный и ( y ) положительный), проходит через точки (-2, -2.5) и (-1, -5) и приближается к оси ( y ), но не пересекает ее.
• В правой части график проходит через точки (1, 5) и (2, 2.5), стремясь к оси ( y ) и никогда не пересекая ее, а также стремится к оси ( x ) при увеличении ( x ).

Эти две ветви гиперболы отражают основные свойства функции, включая асимптотическое поведение и симметрию относительно начала координат.

Для построения графика функции y = 5/x мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Построим таблицу значений функции для нескольких точек. Выберем, например, значения x = 1, 2, 3, 4, 5 и вычислим соответствующие значения y = 5/x.

x | y 1 | 5 2 | 2.5 3 | 1.67 4 | 1.25 5 | 1

1. Нанесем точки с координатами (1, 5), (2, 2.5), (3, 1.67), (4, 1.25) и (5, 1) на координатную плоскость.

2. Проведем график, соединяя точки линией. Получится гипербола, проходящая через начало координат.

Свойства функции y = 5/x:

1. Функция y = 5/x является гиперболой, асимптоты которой параллельны осям координат.

2. График функции лежит в первой и третьей четвертях координатной плоскости.

3. При x > 0 функция положительна, при x < 0 функция отрицательна.

4. При x -> 0 функция стремится к бесконечности, а при x -> +/- бесконечности функция стремится к 0.

Таким образом, график функции y = 5/x представляет собой гиперболу с асимптотами, проходящими через оси координат, и обладает вышеперечисленными свойствами.