Постройте график функции y=5/x и опишите ее свойства Дайте полное решение и желательно с рисунком

Для построения и описания графика функции $y=\frac{5}{x}$, начнем с анализа ее свойств и затем перейдем к построению.

Свойства функции $y=\frac{5}{x}$

1. Область определения: функция определена для всех $x\ne 0$.

2. Область значений: функция принимает все значения $y\ne 0$.

3. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: $x=0$, так как функция не определена в этой точке и значение функции стремится к бесконечности при приближении $x$ к нулю.
   • Горизонтальная асимптота: $y=0$, функция стремится к нулю при $x\to \pm \mathrm{\infty }$.

4. Четность/нечетность: функция является нечетной, так как $f(-x$ = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} = -f$x$ ), что подразумевает симметрию графика относительно начала координат.

5. Интервалы монотонности:

   • Функция убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },0$ ) и $(0,\mathrm{\infty }$ ).

6. Точки пересечения с осями координат: функция не пересекает ни ось $x$, ни ось $y$, так как не определена в точке $x=0$ и не может принимать значение 0.

Построение графика

Для построения графика, рассчитаем несколько значений функции при различных $x$:

• $x=-2$, $y=\frac{5}{-2}=-2.5$
• $x=-1$, $y=\frac{5}{-1}=-5$
• $x=1$, $y=\frac{5}{1}=5$
• $x=2$, $y=\frac{5}{2}=2.5$

Используя эти точки, можно начертить график. График представляет собой две ветви гиперболы, расположенные в первом и третьем квадрантах соответственно.

Визуализация $описаниебезрисунка$

• График начинается из левого верхнего угла $где(x$ отрицательный и $y$ положительный), проходит через точки $-2,-2.5$ и $-1,-5$ и приближается к оси $y$, но не пересекает ее.
• В правой части график проходит через точки $1,5$ и $2,2.5$, стремясь к оси $y$ и никогда не пересекая ее, а также стремится к оси $x$ при увеличении $x$.

Эти две ветви гиперболы отражают основные свойства функции, включая асимптотическое поведение и симметрию относительно начала координат.

Для построения графика функции y = 5/x мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Построим таблицу значений функции для нескольких точек. Выберем, например, значения x = 1, 2, 3, 4, 5 и вычислим соответствующие значения y = 5/x.

x | y 1 | 5 2 | 2.5 3 | 1.67 4 | 1.25 5 | 1

1. Нанесем точки с координатами $1,5$, $2,2.5$, $3,1.67$, $4,1.25$ и $5,1$ на координатную плоскость.

2. Проведем график, соединяя точки линией. Получится гипербола, проходящая через начало координат.

Свойства функции y = 5/x:

1. Функция y = 5/x является гиперболой, асимптоты которой параллельны осям координат.

2. График функции лежит в первой и третьей четвертях координатной плоскости.

3. При x > 0 функция положительна, при x < 0 функция отрицательна.

4. При x -> 0 функция стремится к бесконечности, а при x -> +/- бесконечности функция стремится к 0.

Таким образом, график функции y = 5/x представляет собой гиперболу с асимптотами, проходящими через оси координат, и обладает вышеперечисленными свойствами.