Постройте график функции y=x^2-2x с помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значение функции...

Для построения графика функции y=x^2-2x сначала составим таблицу значений функции на отрезке $0;3$:

Теперь построим график функции на основе этих значений.

$График$

а) Наименьшее значение функции на отрезке $0;3$ равно -1, наибольшее значение равно 3.

б) Промежутки возрастания функции: $0;1$ и $2;3$. Промежутки убывания функции: $1;2$.

в) Чтобы найти решение неравенства x^2-2x⩽0, нужно найти значения x, при которых функция меньше или равна нулю. Из таблицы видно, что функция меньше или равна нулю при x=0 и x=2. Таким образом, решением неравенства будет x∈$0;2$.

Для анализа функции $y=x^2-2x$ и построения её графика начнем с определения ключевых характеристик.

1. Вид функции

Данная функция является квадратичной с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, и $c=0$. Общий вид квадратичной функции: $y=a{x}^2+bx+c$.

2. Вершина параболы

Координаты вершины параболы $y=a{x}^2+bx+c$ находятся по формулам: $x_v=-\frac{b}{2a}$ $y_v=c-\frac{b^2}{4a}$ Подставляя значения: $x_v=-\frac{-2}{2\times 1}=1$ $y_v=0-\frac{(-2{)}^2}{4\times 1}=-1$ Таким образом, вершина параболы находится в точке $1,-1$.

3. Построение графика

Для построения графика составим таблицу значений $y$ для нескольких значений $x$ в окрестности вершины:

Графиком функции $y=x^2-2x$ является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $1,-1$.

а) Наименьшее и наибольшее значения на отрезке $0;3$

Из таблицы и графика видно, что наименьшее значение функции $y=-1$ в точке $x=1$, наибольшее значение $y=3$ в точке $x=3$.

б) Промежутки возрастания и убывания

Функция убывает на промежутке от $-\mathrm{\infty }$ до 1 и возрастает на промежутке от 1 до $+\mathrm{\infty }$.

в) Решение неравенства $x^2-2x\le 0$

Разложим на множители: $x(x-2)\le 0$ Найдем корни: $x=0,x=2$ Промежутки, где произведение отрицательно или равно нулю: $x\in [0,2$ ]

Таким образом, мы провели полный анализ функции и ответили на все вопросы.