Постройте график функции y= x^2- |2x+1|. При каких значениях m функция y=m имеет с графиком ровно 3...

Для построения графика функции ( y = x^2 - |2x + 1| ) необходимо сначала рассмотреть выражение ( |2x + 1| ).

Модуль ( |2x + 1| ) можно раскрыть следующим образом:

• Если ( 2x + 1 \geq 0 ), то ( |2x + 1| = 2x + 1 ).
• Если ( 2x + 1 < 0 ), то ( |2x + 1| = -(2x + 1) ).

Разделим функцию на две части в зависимости от этих условий:

1. Если ( 2x + 1 \geq 0 ), то есть ( x \geq -\frac{1}{2} ): [ y = x^2 - (2x + 1) = x^2 - 2x - 1 ]

2. Если ( 2x + 1 < 0 ), то есть ( x < -\frac{1}{2} ): [ y = x^2 - (-(2x + 1)) = x^2 + 2x + 1 ]

Теперь мы имеем две функции, которые составляют наш график:

1. ( y = x^2 - 2x - 1 ) для ( x \geq -\frac{1}{2} )
2. ( y = x^2 + 2x + 1 ) для ( x < -\frac{1}{2} )

Построение графика

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно и их соединение в точке ( x = -\frac{1}{2} ).

1. График ( y = x^2 - 2x - 1 ) для ( x \geq -\frac{1}{2} )

• Найдем вершину параболы. Вершина параболы ( y = ax^2 + bx + c ) находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ). [ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 ]
• Подставим ( x = 1 ) в уравнение: [ y = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (1, -2) ).

2. График ( y = x^2 + 2x + 1 ) для ( x < -\frac{1}{2} )

• Найдем вершину параболы: [ x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 ]
• Подставим ( x = -1 ) в уравнение: [ y = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ] Таким образом, вершина параболы находится в точке ( (-1, 0) ).

Точка соединения

При ( x = -\frac{1}{2} ):

• Подставим в ( y = x^2 - 2x - 1 ): [ y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{4} + 1 - 1 = \frac{1}{4} ]
• Подставим в ( y = x^2 + 2x + 1 ): [ y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4} ]

Таким образом, обе части функции соединяются в точке ( \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right) ).

Исследование количества пересечений с линией ( y = m )

Графики обеих частей функции ( y = x^2 - |2x + 1| ) являются параболами. Для нахождения количества пересечений с горизонтальной линией ( y = m ), нужно решить уравнения:

1. ( x^2 - 2x - 1 = m ) для ( x \geq -\frac{1}{2} )
2. ( x^2 + 2x + 1 = m ) для ( x < -\frac{1}{2} )

1. Решение ( x^2 - 2x - 1 = m )

[ x^2 - 2x - 1 - m = 0 ] Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1 - m) = 4 + 4 + 4m = 8 + 4m ] Для реальных корней ( D \geq 0 ), то есть ( 8 + 4m \geq 0 ): [ m \geq -2 ]

2. Решение ( x^2 + 2x + 1 = m )

[ x^2 + 2x + 1 - m = 0 ] Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - m) = 4 - 4 + 4m = 4m ] Для реальных корней ( D \geq 0 ), то есть ( 4m \geq 0 ): [ m \geq 0 ]

Следовательно, для ( m ) в интервале ( -2 \leq m < 0 ), у правой части параболы есть два корня, а у левой части — один корень. Поэтому, при значениях ( m ) в этом интервале, линия ( y = m ) пересекает график функции в трех точках.

Для того чтобы построить график функции y = x^2 - |2x + 1| нужно разбить функцию на две части: одну для x ≥ -1/2, другую для x < -1/2. Для x ≥ -1/2, модуль можно убрать и получить y = x^2 - (2x + 1) = x^2 - 2x - 1. Для x < -1/2, нужно учесть, что модуль изменяет знак, поэтому y = x^2 - (-2x - 1) = x^2 + 2x + 1.

Теперь определим, при каких значениях m функция y = m имеет с графиком ровно 3 общие точки. Для этого рассмотрим общие точки графиков y = x^2 - 2x - 1 и y = m, а также y = x^2 + 2x + 1 и y = m.

Для уравнения y = x^2 - 2x - 1 и y = m: x^2 - 2x - 1 = m x^2 - 2x - 1 - m = 0

Дискриминант этого уравнения должен быть равен 0, чтобы было ровно 3 общие точки: (-2)^2 - 41(-1 - m) = 0 4 + 4 + 4m = 0 8 + 4m = 0 4m = -8 m = -2

Таким образом, функция y = x^2 - 2x - 1 имеет с графиком y = m ровно 3 общие точки при m = -2.

Аналогично для уравнения y = x^2 + 2x + 1 и y = m: x^2 + 2x + 1 = m x^2 + 2x + 1 - m = 0

Дискриминант этого уравнения должен быть равен 0, чтобы было ровно 3 общие точки: 2^2 - 41(1 - m) = 0 4 - 4*(1 - m) = 0 4 - 4 + 4m = 0 4m = 0 m = 0

Таким образом, функция y = x^2 + 2x + 1 имеет с графиком y = m ровно 3 общие точки при m = 0.

График функции y = x^2 - |2x + 1| будет содержать обе эти функции и иметь общие точки с ними при m = -2 и m = 0.